Archivo de marzo de 2013

Propagación de errores 09

 

Halla la velocidad media de un móvil, indicando los errores absoluto, relativo y porcentual, sabiendo que el espacio que ha recorrido es x = (1,40 ±0,01) m y el tiempo transcurrido es t = (0,95 ±0,01) s.

 

Solución:

Datos: x = (1,40 ±0,01) m; t = (0,95 ±0,01) s.

Ecuación del movimiento:

 

x = vm t

 

Despejando la velocidad, tenemos que:

 

vm = x/t

 

Valor de la velocidad:

 

vm = 1,40 m/0,95 s = 1,474 m/s

 

Ahora debemos hallar el error absoluto, pero, en este caso, al tratarse de un cociente con una potencia es más fácil, primero, hallar el error relativo y, después, el error absoluto.

El error relativo se puede hallar tomando logaritmos neperianos, sin tener en cuenta la constante, en la expresión de la aceleración y después diferenciando.

 

L vm = L (x/t2)

 

L vm = L x – L t2 = L x – L t

 

Diferenciando la anterior expresión:

 

dvm/vm = (dx/x) – dt/t

 

Ahora se identifican los diferenciales con los errores absolutos:

 

Ea(vm)/vm = [Ea(x)/x] + Ea(t)/t

 

A pesar de que al diferenciar se ha obtenido un signo negativo, lo hemos cambiado por un signo positivo, ya que al no saber el sentido de los errores se cogerá siempre el caso más desfavorable.

Por tanto:

 

Er (vm) = Er (x) + Er (t)

 

Er (vm) = (0,01 cm/1,40 cm) + (0,01 s/ 0,95 s) = 0,0177

 

Error porcentual:

 

E% = 100·Er = 100·0,0177 = 1,77%

 

Error absoluto (Ea):

 

Er = Ea/vm Ea = Er · vm

 

Ea = 0,0177 · 1,474 m/s = 0,026 cm/s

 

Expresión de la velocidad media del móvil:

 

vm = (1,47 ± 0,03) m/s

 

Hemos redondeado, ya que el error absoluto únicamente puede tener una cifra distinta de cero.

El valor de la medida ha de tener el mismo número de decimales que el error absoluto o el mismo número de ceros si se trata de un entero.

 

 

 

Propagación de errores 08

 

Halla el volumen de un cilindro cuyas medidas, en cm, son: diámetro = (D ± ED) y altura = (h ± Eh).

 

Solución:

Datos: d = (D ± ED) cm; a = (h ± Eh)

El volumen (V) de un cilindro es igual al área de la base (un círculo) multiplicada por la altura del cilindro, es decir:

 

V = π R2 a = π (d/2)2 a = (1/4) π D2 h

 

Expresión del volumen del cilindro:

 

 

 

Ahora debemos hallar el error absoluto correspondiente al volumen.

Errores para el producto, cociente, potenciación y radicación:

En estos casos, es más fácil, primero hallar el error relativo (que será la suma de los errores relativos de cada una de las medidas) y, después, el error absoluto.

El error relativo se puede hallar tomando logaritmos neperianos en la expresión del volumen y después diferenciando.

 

L V = L (1/4) π D2 h = L (1/4) π + L D2 + L h

 

L V = L (1/4) π + 2 L D + L h

 

Diferenciando la anterior expresión:

 

 

 

Ahora se identifican los diferenciales con los errores absolutos:

 

 

 

 

 

 

Conversión trabajo-calor 02

 

Se deja caer desde una altura h un recipiente térmicamente aislado y lleno de agua que choca con el suelo y se detiene ¿Cuál debe ser el valor de h para que la temperatura del agua aumente en 1 ºC? (Suponiendo que la energía cinética perdida en el choque se invierta en calentar el agua)

 

Solución:

Datos: v0 = 0; h(1) = h; h(2) = 0 ; Δt = 1 ºC; c = 1 cal/g ºC

Aplicando en principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor ganado por el agua:

 

Qg = m c Δt

 

Calor perdido:

La energía cinética con la que llega el recipiente al suelo, debido al choque, se transforma en calor, el cual calienta el agua (funciona como si fuera un calor perdido), luego:

 

Qp = ΔEc

 

Para hallar la energía cinética con la que el recipiente llega al suelo, aplicaremos el principio de conservación de la energía.

 

ΔEp + ΔEc = 0

 

0 – m g h + ΔEc = 0

 

ΔEc = m g h

 

En el choque inelástico se pierde toda esta energía cinética, por tanto:

 

ΔEc = –m g h

 

Sustituyendo en la expresión del principio de la calorimetría:

 

m c Δt + (–m g h) = 0

 

m c Δt – m g h = 0 c Δt = g h

 

Δt = g h/c

 

 

 

 

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