Archivo de mayo de 2012

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento 08

 

Se utiliza un espectrógrafo de masas para estudiar partículas cargadas producidas por una fuente de iones. Cuando se las somete a un potencial acelerador de 10 kV y el campo magnético del espectrógrafo es de 1 T, los iones describen una trayectoria semicircular de radio 5 cm. Calcula la razón q/m de las partículas.

 

Solución:

Datos: (VA – VB) = 10 kV; B = 1 T; R = 5 cm

Un espectrógrafo de masas es un tubo de vacío donde partículas cargadas (iones) son sometidas a campos eléctricos y magnéticos. El estudio de la curvatura de la trayectoria permite determinar la relación entre la carga y la masa.

La razón q/m es la relación entre la carga, sin signo, y la masa de la partícula, por tanto el signo de la carga es indiferente, luego supondremos que la partícula tiene carga positiva.

El protón, al penetrar perpendicularmente en el campo magnético, sufre la acción de una fuerza normal a la velocidad y al campo y su trayectoria depende del ángulo velocidad–campo. En este caso el ángulo es de 90º, luego la fuerza curva la trayectoria en un plano perpendicular al campo. Como la velocidad sigue siendo normal al campo, la fuerza volverá a curvar la trayectoria en un plano perpendicular al mismo y así sucesivamente.

 

La trayectoria será una circunferencia, o un arco, en un plano normal al campo magnético. O sea:

por tanto:

Según Dinámica:

     F = m an = m (v2/R)   

Módulo de la fuerza magnética:

F = q v B

Sustituyendo en la anterior expresión, tenemos que:

q v B = m (v2/R)

De donde obtendremos la siguiente relación:

q/m = v2/v B R = v/B R

Para poder resolver el problema debemos averiguar la velocidad con la que la partícula entra en el campo magnético.

  

Aplicando el principio de conservación de la energía:

 W = Ec + Ep

Energía cinética:

Ec = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

Energía potencial eléctrica:

Ep = q VB – q VA = q (VB – VA)

En la expresión de la energía potencial la carga se pone con su signo. 

En el caso de placas paralelas el origen de potencial no está definido, por tanto los potenciales son indeterminados. Pero no importa ya que lo que en realidad interesa es la diferencia de potencial.

Durante el trayecto el protón únicamente está sometido a la fuerza eléctrica cuyo trabajo ya está incluido en la variación de energía, por tanto:

 W = 0

Las partículas subatómicas (electrón, positrón, protón, partículas alfa, etc) la proporción entre carga y masa (q/m) es muy alta, por tanto se puede despreciar el peso en comparación con la fuerza eléctrica.

0 = (1/2) m v2 + q (VB – VA)

 q (VA – VB) = (1/2) m v2 

(VA – VB) = m v2/2 q v2 =  2 q (VA – VB)/m

 

 

 Dimensionalmente:

 

 

 

Fuerzas 06

 

En los extremos de una varilla de peso despreciable de 10 cm de longitud, actúan dos fuerzas paralelas de 30 N y 20 N. Dibuja el sistema de las fuerzas y la resultante, y determina: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación de la resultante, si:

a)  Las fuerzas tienen el mismo sentido.

b)  Las fuerzas son de sentido contrario.

 

Solución:

Datos: F1 = 30 N;  F2 = 20 N

a)  Primero, se dibujan las fuerzas.

Segundo, se traza en el punto B una fuerza igual a F1, pero de sentido opuesto y otra fuerza igual a F2 y del mismo sentido en el punto A.

Ahora se unen mediante un segmento los extremos de las fuerzas F1’ y F2’ y el punto donde el segmento corta al segmento AB es el punto de aplicación de la fuerza resultante.

 

Módulo o intensidad de la fuerza resultante:

 FR = F1 + F2 = 30 N + 20 N = 50 N

Dirección: paralela a las dos componentes.

Sentido: el de las fuerzas.

Para hallar el punto de aplicación de la fuerza resultante, tendremos en cuenta que el momento de la resultante con respecto a un eje que pasa por un punto, es igual a la suma de los momentos de las fuerzas que actúan con respecto al mismo punto.

Tomando momentos con respecto al punto O:

 M1 + M2 = MR  Þ F1 · x F2 · (10 cm x) = 0 · FR

 F1 · x F2 · 10 cm + F2 · x = 0 Þ F1 · x + F2 · x = F2 · 10 cm

 (F1 + F2) · x = F2 · 10 cm

 x = 10 cm·F2/(F1 + F2) = 10 cm·20 N/(30 N + 20 N) = 4 cm

El punto de aplicación de la resultante se encuentra a 4 cm de la fuerza F1 y a 6 cm de la fuerza F2.

El punto de aplicación de dos fuerzas paralelas del mismo sentido está situado en el segmento (varilla) que une los puntos de aplicación de ambas fuerzas, y lo divide en dos partes que son inversamente proporcionales al módulo de las fuerzas.

b)  Primero, se dibujan las fuerzas.

 

Segundo, se traza en el punto B una fuerza igual a F1, pero de sentido opuesto y otra fuerza igual a F2 y del mismo sentido en el punto A.

 

Ahora se unen mediante un segmento los extremos de las fuerzas F1’ y F2’ y el punto donde el segmento corta al segmento AB es el punto de aplicación de la fuerza resultante.

Módulo o intensidad de la fuerza resultante:

 FR = F1 – F2 = 30 N – 20 N = 10 N

Dirección: las de las fuerzas.

Sentido: el de la fuerza mayor.

Para hallar el punto de aplicación de la fuerza resultante, tendremos en cuenta que el momento de la resultante con respecto a un eje que pasa por un punto, es igual a la suma de los momentos de las fuerzas que actúan con respecto al mismo punto.

 

Tomando momentos con respecto al punto O:

 M1 + M2 = MR  Þ  –F1 · x + F2 · (10 cm + x) = 0 · FR

–F1 · x + F2 · 10 cm + F2 · x = 0 Þ –F1 · x + F2 · x = –F2 · 10 cm

 (F2 – F1) · x = –F2 · 10 cm

 x = –10 cm·F2/(F2 – F1) = –10 cm·20 N/(20 N – 30 N) = 20 cm

 El punto de aplicación de la resultante se encuentra a 20 cm de F1 y a 30 cm de F2.

El punto de aplicación de dos fuerzas paralelas de sentido contrario está situado en la prolongación del segmento que une los puntos de aplicación de ambas fuerzas, y su distancia a éstas es inversamente proporcional al módulo de las mismas.

 

 

 

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento 07

 

Dentro de un ciclotrón un protón describe una circunferencia de radio 0,35 m antes de salir despedido. Siendo 1,48 T el campo magnético del ciclotrón. Calcula:

a)   Velocidad del protón y energía cinética (MeV) en ese instante. 

b)  La frecuencia de la tensión alterna que se aplica a las “des”.

Datos del protón: m = 1,67·10–27 kg; q = 1,6·10–19 C

 

Solución:

Datos:  R = 0,35 m; B = 1,48 T; m = 1,67·10–27 kg; q = 1,6·10–19 C 

Ciclotrón:

Esencialmente consiste en dos semicilindros metálicos (se les llama “des”) entre los cuales hay un campo eléctrico cuyo sentido va cambiando periódicamente. Además existe un campo magnético perpendicular al eléctrico.

 

 

Se introduce en una de las “des” una partícula con velocidad pequeña y ésta describirá una trayectoria circular ab hasta llegar a la zona del campo eléctrico bc, donde recibirá un impulso que aumentará su velocidad. En la otra “de” la partícula describirá una trayectoria circular de radio mayor cd hasta llegar a la zona del campo donde recibirá un nuevo impulso. La trayectoria resultante es una especie de espiral formada por semicircunferencias de radios crecientes.

Lo que se trata es de conseguir que, cuando la partícula llegue a la zona del campo, éste tenga el sentido adecuado para empujarla, luego cada media vuelta de la partícula deberá invertirse el sentido del campo. Por tanto el período de cambio del campo tendrá que ser igual a la mitad del período de rotación de la partícula que es constante (no depende del radio)

 a)

 

 

Aplicando Dinámica y la fuerza magnética sobre una carga en movimiento:

 

 

 

Dimensionalmente:

 

Energía cinética:

 

 

 

Dimensionalmente:

 

 

 b)  El tiempo que tarda el protón en dar una vuelta viene dado por la siguiente expresión: 

 v = 2 π R/T T = 2 π R/v

Sustituyendo el valor de la velocidad hallada en el apartado anterior, tenemos que:

 T = 2 π R/(q B R/m) = 2 π R m/q B R = 2 π m/q B

Es interesante observar que el período es independiente de la velocidad del protón y del radio de su órbita.

 

Para que un ciclotrón acelere una partícula, el período de cambio del campo eléctrico ha de ser igual a la mitad del período de rotación de la partícula, por tanto dicho período deberá ser 2,22·10–8 s.

Frecuencia de cambio del campo (frecuencia de la tensión alterna):

 f = 1/T = 1/2,22·10–8 s = 4,50·107 s–1 o Hz

 

 

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