Archivo de diciembre de 2011

Movimientos de cargas en campos eléctricos 14

 

Entre dos placas metálicas, separadas 4 cm, hay una d. d. p de 200 V. Desde la placa positiva se lanza un electrón con velocidad 107 m/s hacia la placa negativa. ¿Con qué velocidad llegará?

Datos del electrón: m = 9,1·10–31 kg, q = –1,6·10–19 C   

 

Solución:

Datos: x = 4·10–2 m; d. d. p = 200 V; v0 = 107 m/s; m = 9,1·10–31 kg, q = –1,6·10–19 C   

 

 

De Cinemática:

El electrón se desplazará de A a B perdiendo velocidad.

 

 

Ecuaciones del movimiento:

 

v = v0 – a t                      x = v0 t – (1/2) a t2

 

Despejando el tiempo en la primera expresión y sustituyendo en la segunda:

 

Ahora necesitamos conocer el valor de la aceleración.

Ecuaciones del movimiento del electrón:

 

 

Según Dinámica:

 

F = m a

 

Por otra parte, tenemos que:

 

F = q E

 

Luego:

 

m a = q E a = q E/m

 

En la expresión del módulo de la aceleración, la carga q no lleva el signo.

Para saber el valor de E debemos tener en cuenta lo siguiente:

Relación entre campo eléctrico y d. d. p (Campo uniforme):

La d. d. p (VA – VB) es el trabajo que hace el campo cuando una carga cualquiera q se traslada desde A hacia B, dividido por la propia carga q.

 

 

Debemos hacer notar que los puntos A y B se han tomado en el sentido del campo y que d es el recorrido en la dirección del campo.

Volviendo a la expresión de la aceleración:

 

 

Sustituyendo en la ecuación de la velocidad y teniendo en cuenta que, en este caso, d = x:

 

 

 

 

Movimientos de cargas en campos eléctricos 13

 

En un tubo de rayos X se acelera un electrón, desde el reposo, al pasar del cátodo al ánodo a través de una d. d. p de 180000 V. Calcula la energía cinética del electrón, en eV, al llegar al ánodo.

Dato del electrón: q = –1,6·10–19 C   

 

Solución:

Datos: v0 = 0; d. d. p = 180000 V; q = –1,6·10–19 C

En un instrumento eléctrico, ánodo es el borne o electrodo positivo y cátodo es el borne o electrodo negativo. 

 

 

Según el principio de conservación de la energía:

 

W = ΔEc + ΔEp

 

Durante el desplazamiento, el electrón únicamente está sometido a la fuerza eléctrica, ya que se puede despreciar el peso en comparación con la fuerza eléctrica, cuyo trabajo se encuentra incluido en la variación de la energía potencial, por tanto W = 0.

 

0 = ΔEc + ΔEp

 

ΔEc = – ΔEp

 

ΔEp = q VC – q VA

 

ΔEc = – (q VC – q VA) = – q (VC – VA)

 

En la expresión de la energía potencial la carga q se pone con signo.

 

Si el electrón aumenta su velocidad moviéndose de C (cátodo) hacia A (ánodo), el campo estará dirigido en sentido contrario.

Los potenciales inicial, es decir: VC y final, o sea: VA son indeterminados.

En el caso de placas cargadas no está definido el origen de potencial, por eso los potenciales son indeterminados, pero no importa porque lo que en realidad interesa es la diferencia de potencial.

d. d. p y dirección del campo:

El campo apunta hacia los potenciales decrecientes, por tanto, como el campo apunta desde A hacia C la d. d. p (VA – VC) será positiva y valdrá 180000 V

 

ΔEc = – (–1,6·10 –19 C)·(180000 V) = 1,6·10 –19·180000 J

 

ΔEc = (1,6·10 –19·180000 J/1,6·10 –19) eV = 180000 eV

 

La energía cinética, expresada en eV, que adquiere un electrón partiendo del reposo, coincide, numéricamente, con la d. d. p que recorre.

 

 

 

Movimientos de cargas en campos eléctricos 12

 

En un acelerador lineal de partículas existe un campo eléctrico uniforme de intensidad 20 N/C a lo largo de 50 m. ¿Qué energía cinética adquiere un electrón, partiendo del reposo a lo largo de este recorrido?

Datos del electrón: m = 9,1·10–31 kg, q = –1,6·10–19 C   

 

Solución:

Datos: E = 20 N/C; x = 50 m; v0 = 0; m = 9,1·10–31 kg; q = –1,6·10–19 C   

 

 

Energía cinética del electrón al final del recorrido:

Ec = (1/2) m v2

Para poder resolver este problema necesitamos saber el valor de v (velocidad que posee el electrón al final del recorrido), ya que el dato de la masa se conoce.

Ecuaciones del movimiento del electrón:

 

 

Según Cinemática:

v = a t                            x = (1/2) a t2

Despejando t en la segunda expresión y sustituyendo en la primera:

 

 

Ahora nos hace falta saber el valor de la aceleración.

 

 

Si el electrón aumenta su velocidad, trasladándose de 0 a x, el campo está dirigido en sentido contrario.

Según Dinámica:

F = m a

Por otra parte, tenemos que:

F = q E

Luego:

m a = q E a =q E/m

En la expresión del módulo de la aceleración, la carga q no lleva el signo.

Sustituyendo en la expresión de la velocidad:

 

 

Energía cinética:

 

 

 

 

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