El Sapo Sabio

Archivo de noviembre de 2011

 

 

Entre las placas metálicas  hay un campo uniforme de 10⁴ N/C. Un positrón (electrón positivo) penetra entre las placas por un punto equidistante de ambas, moviéndose con velocidad 10⁷ m/s en una dirección que forma 30º con la dirección de éstas.

 

Determina la longitud y separación de las placas para que el positrón no golpee ninguna de ellas.

 

Datos del positrón: m = 9,1·10^–31 kg, q = 1,6·10^–19 C   

 

Solución:

 

Datos: E = 10⁴ N/C; v₀ = 10⁷ m/s; α = 30º; m = 9,1·10^–31 kg, q = 1,6·10^–19 C

 

Al penetrar el positrón entre las placas actuará sobre él una fuerza de naturaleza eléctrica dirigida hacia la derecha.

 

 

La expresión de dicha fuerza es:

 

F = q E

 

En la ecuación del módulo de la fuerza, la carga se pone sin signo.

 

Como el positrón tiene carga positiva, la fuerza que sufre y la aceleración correspondiente tienen el mismo sentido al del campo.

 

Por otra parte, según la Dinámica, tenemos que:

 

F = m a

 

Por tanto, igualando los segundos miembros de las anteriores ecuaciones, se obtiene que:

 

q E = m a → a = q E/m

 

Ecuaciones del movimiento:

 

 

Estamos ante un movimiento compuesto por un movimiento rectilíneo uniforme (en la dirección del eje Y) y otro uniformemente acelerado (en dirección del eje X).

 

De Cinemática:

 

 

Se desprecia los posibles efectos de la fuerza de gravedad frente a la fuerza eléctrica.

 

Trayectoria del movimiento:

 

 

Según el enunciado del problema el positrón no debe golpear en ninguna de las placas, por tanto los puntos críticos son A y B. Luego, el positrón debe detenerse justo al llegar a la placa positiva y salir de la zona entre placas rozando la placa negativa.

 

La separación máxima es x = –d/2 y se consigue cuando v_x = 0, por tanto:

 

 

La separación entre placas debe ser mayor de 14,2 mm.

 

La longitud máxima es y = L y se consigue cuando x = d/2, luego:

 

 

El segundo resultado no sirve porque una longitud no puede ser negativa.

 

Las placas deben tener una longitud de 6 cm.

 

 

 

Entre las placas metálicas, longitud L y separación d, hay un campo eléctrico uniforme E. Un electrón penetra entre las placas por un punto equidistante de ambas, moviéndose con velocidad v₀ en dirección paralela a éstas. Determina el máximo valor del campo para que el electrón no choque con las placas.

 

Solución:

 

 

 

Ecuación de la aceleración:

 

 

De Dinámica:

F = m a → a = F/m = E q/m

 

En la ecuación del módulo de la fuerza, la carga se pone sin signo.

 

Como el electrón tiene carga negativa, la fuerza que sufre y la aceleración correspondiente tienen sentido contrario al del campo.

 

Ecuaciones del movimiento:

 

 

Horizontalmente no tiene velocidad inicial y se desprecia los posibles efectos de la fuerza de gravedad frente a la fuerza eléctrica.

 

x = (1/2) a t²                   y = v₀ t

 

Despejando el tiempo en la segunda ecuación y sustituyendo en la primer, obtenemos:

t = y/v₀ → x = (1/2) a (y/v₀)²

Para que el electrón no choque con las placas, cuando y = L se debe cumplir que x = d/2 como máximo.

 

d/2 = (1/2) (E q/m) (L/v₀)²

 

 

 

 

Dos placas paralelas separadas 2 cm, tienen cargas iguales y opuestas. En la placa negativa se libera un electrón, sin velocidad inicial, que choca con la placa positiva 1,5·10^–8 s después.

a)  Calcula la intensidad del campo eléctrico entre placas.

b)  Determina la velocidad del electrón cuando choca con la placa positiva.

Datos del electrón: m = 9,1·10^–31 kg, q = –1,6·10^–19 C   

 

Solución:

Datos: x = = 2·10^–2 m; m = 9,1·10^–31 kg; q = –1,6·10^–19 C; v₀ = 0; t = 1,5·10^–8 s  

 

 

a)  Si el electrón, que inicialmente está parado, se mueve es porque actúa sobre él alguna fuerza, en este caso se trata de una fuerza de naturaleza eléctrica, cuya expresión es:

F = q E

Por otra parte, según la Dinámica, tenemos que:

F = m a

Por tanto, igualando los segundos miembros de las anteriores ecuaciones, se obtiene que:

q E = m a → E = m a/ q

Para poder resolver este primer apartado necesitamos saber la aceleración con la que se mueve el electrón, para lo cual acudiremos a Cinemática.

Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ + a t                       x = v₀ t + (1/2) a t²

En este caso:

v = a t                              x = (1/2) a t²

Despejando la aceleración de la segunda expresión y sustituyendo en la ecuación de la intensidad de campo:

a = 2x/t² → E = m (2x/t²)/q = 2 m x/q t²

Realizando las debidas sustituciones, obtendremos el valor de E:

 

 

b)  Para hallar la velocidad con la que choca el electrón con la segunda placa, sustituiremos la aceleración en la ecuación de la velocidad.

a = 2x/t² → v = (2x/t²) t = 2x/t