Archivo de noviembre de 2011

Movimientos de cargas en campos eléctricos 08

 

Desde un punto situado a 10 cm de una carga de –0,005 μC se lanza un positrón a 107 m/s alejándose de dicha carga. Determina la distancia que recorrerá el positrón hasta detenerse.

Datos del positrón: m = 9,1·10–31 kg, q = 1,6·10–19 C   

 

Solución:

Datos: rA = 10–1 m; Q = –5·10–9 C; v0 = 107 m/s; v = 0   

 

 

Según el principio de conservación de la energía:

W = ΔEc + ΔEp

Durante el desplazamiento, el positrón únicamente está sometido a la fuerza eléctrica, ya que se puede despreciar el peso en comparación con la fuerza eléctrica, cuyo trabajo se encuentra incluido en la variación de la energía potencial, por tanto W = 0.

0 = ΔEc + ΔEp

ΔEc = 0 – (1/2) m v02

ΔEp = q VB – q VA

 

En la expresión de la energía potencial la carga q se pone con signo.

 

 – (1/2) m v02 + q (VB – VA) = 0 q (VB – VA)  = (1/2) m v02 

 

(VB – VA) = m v02/2 q

 

 

En la expresión del potencial la carga Q se pone con signo.

 

 

El positrón se detiene a 27 cm de la carga Q, por tanto habrá recorrido: 27 cm – 10 cm = 17 cm

 

 

 

Movimientos de cargas en campos eléctricos 07

 

Se abandona un electrón a 5 cm de una carga de 5·10–7 C. Calcula la velocidad que tendrá cuando esté a 2 cm de la citada carga.

Datos del electrón: m = 9,1·10–31 kg, q = –1,6·10–19 C   

 

Solución:

Datos: rA = 5 ·10–2 m; Q = 5·10–7 C; rB = 2·10–2 m; m = 9,1·10–31 kg, q = –1,6·10–19 C

 

 

Según el principio de conservación de la energía:

W = ΔEc + ΔEp

Durante el desplazamiento, el electrón únicamente está sometido a la fuerza eléctrica, ya que se puede despreciar el peso en comparación con la fuerza eléctrica, cuyo trabajo se encuentra incluido en la variación de la energía potencial, por tanto W = 0.

0 = ΔEc + ΔEp

 

ΔEc = (1/2) m v2 – 0

 

ΔEp = q VB – q VA

 

En la expresión de la energía potencial la carga q se pone con signo.

 

(1/2) m v2 + q (VB – VA) = 0 (1/2) m v2 = –q (VB – VA)

 

m v2 = 2 q (VA – VB) v2 = 2 q (VA – VB)/m

 

 

En la expresión del potencial la carga Q se pone con signo.

 

 

 

 

Movimientos de cargas en campos eléctricos 06

 

 

Un electrón penetra entre las placas de un tubo de rayos catódicos por un punto equidistante de ambas, moviéndose con velocidad 2·107m/s en dirección paralela a éstas. El campo entre placas vale 2·104 N/C y está dirigido verticalmente hacia arriba.

a)  Halla velocidad del electrón al salir de las placas y distancia vertical recorrida.

b)  Determina la distancia al eje del punto de impacto con la pantalla P.

Datos del electrón: m = 9,1·10–31 kg, q = –1,6·10–19 C   

 

Solución:

Datos: v0 = 2·107m/s; E = 2·104 N/C; m = 9,1·10–31 kg; q = –1,6·10–19 C

a)  Al penetrar el electrón entre las placas actuará sobre él una fuerza de naturaleza eléctrica dirigida hacia abajo.

 

 

La expresión de dicha fuerza es:

F = q E

En la ecuación del módulo de la fuerza, la carga se pone sin signo.

Como el electrón tiene carga negativa, la fuerza que sufre y la aceleración correspondiente tienen sentido contrario al del campo eléctrico.

Por otra parte, según la Dinámica, tenemos que:

F = m a

Por tanto, igualando los segundos miembros de las anteriores ecuaciones, se obtiene que:

q E = m a a = q E/m

Ecuaciones del movimiento:

 

 

Estamos ante un movimiento compuesto por un movimiento rectilíneo uniforme (en la dirección del eje X) y otro uniformemente acelerado (en dirección del eje Y). Por tanto, el electrón se moverá horizontalmente hacia la derecha, a velocidad constante, y verticalmente descenderá con aceleración.

De Cinemática:

Ecuaciones del movimiento dentro de las placas:

 

 

Verticalmente no tiene velocidad inicial y se desprecia los posibles efectos de la fuerza de gravedad frente a la fuerza eléctrica.

En el punto de salida de las placas, x1 = 0,04 m.

 

 

En el instante que el electrón sale de las placas, la componente vx es positiva mientras que la componente vy es negativa, por tanto la velocidad está dirigida según la siguiente figura:

 

 

Al salir de las placas el electrón ha descendido 7 mm y se mueve a 2,12·107 m/s en dirección  19,4º por debajo de la horizontal.

b)  Desde un punto de vista de Dinámica, una vez fuera de las placas, el electrón solamente se encontrará sometido a su peso. En principio, este peso no se puede despreciar porque es la única fuerza que existe, por tanto el electrón llevará la aceleración de la gravedad. Pero, de acuerdo con Cinemática, el electrón posee una velocidad tan grande, aproximadamente 107 m/s, que el efecto de la gravedad ni se nota. Por ejemplo: en un segundo el electrón avanzará 10000000 metros y descenderá 4,9 metros. Por tanto, se puede admitir que el electrón se moverá en línea recta.

Para estudiar este movimiento mantendremos el origen de coordenadas y los ejes utilizados en el primer apartado del problema, o sea, plantearemos las ecuaciones de un movimiento rectilíneo inclinado respecto a los ejes. 

Ecuaciones del movimiento del electrón fuera de las placas:

Los valores iniciales de posición y velocidad serán los valores hallados en el primer apartado.

 

 

Datos: x0 = 4 cm; y0 = 7 mm; vx0 = 2·107 m/s; Vy0 = 0,703·107 m/s; x1 = (4+12) cm

Aplicando al punto B:

 

 

El electrón golpea a la pantalla 4,92 cm por debajo del nivel inicial.

 

 

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