Archivo de junio de 2011

Ondas estacionarias. Vientres y nodos de la onda estacionaria 01

 

Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación: y = 20 sen (50x) cos (400t) (x, y: en cm, t: en s)

Determina:

a)  Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de las ondas que produjeron esta vibración.

b)  Posición de nodos y vientres y la amplitud en éstos.

 

Solución:

Dato: y = 20 sen (50x) cos (400t) (x, y: en cm, t: en s)

La ecuación dada corresponde a una onda estacionaria, formada por la interferencia de dos ondas progresivas viajando en sentidos contrarios.

Las ondas estacionarias se producen como resultado de la interferencia de dos ondas que se propagan en sentidos contrarios en un medio de dimensión limitada, por ejemplo, una cuerda con sus extremos fijos.

La característica más destacada de una onda estacionaria es que la amplitud de oscilación de las partículas del medio, depende de la posición de éstas. Esta amplitud varía entre 0 (Nodos) y un valor máximo (Vientre).

El nombre de onda estacionaria alude al hecho de que las crestas de onda, no avanzan en la dirección de propagación como ocurre en las ondas progresivas, en las que una partícula no se desplaza horizontalmente, únicamente sube y baja, es decir, la onda no arrastra materia.

a)  Ecuación general de una onda estacionaria:

 

 

 

Comparando la anterior expresión con la dada en el enunciado del problema, se pueden obtener los parámetros de las ondas que interfieren.

Amplitud de onda estacionaria: y0 = 20 cm (Amplitud de cada onda progresiva: y0/2 = 10 cm)

Frecuencia angular:

 

Período:

 

Constante de propagación:

k = 50 rad/cm

Longitud de onda:

 

 

Velocidad de propagación:

 

b)  Si en una onda elástica se fija un valor para x, la ecuación de onda se convierte en la ecuación de posición del movimiento armónico del punto situado en dicha abscisa.

 

 

Se puede ver que la amplitud de oscilación (y0 sen kx1) depende de la posición del punto (debemos recordar que en una onda estacionaria, todos los puntos del medio oscilan con la misma amplitud)

Los nodos son los puntos donde la amplitud de oscilación es cero (interferencia destructiva), por tanto:

 

 

La separación entre dos nodos consecutivos es igual a la mitad de la longitud de onda de las ondas progresivas que interfieren

Los vientres son los puntos donde la amplitud de oscilación es máxima (y0), luego:

 

 

La separación entre dos vientres consecutivos es la mitad de la longitud de onda de las ondas progresivas que interfieren.

Se puede ver que cada vientre está equidistante entre dos nodos y viceversa.

 

 

Superposición de ondas. Interferencias constructivas y destructivas 03

 

 

Desde los vértices A y B del triángulo se emiten ondas en fase de amplitud 0,5 cm y frecuencia 50 Hz que se propagan con velocidad 10 cm/s. Siendo BA 3 cm y BC 4 cm, se pide:

a)  Amplitud de la perturbación resultante en C.

b)  Si las distancias se redujeran a la mitad, la interferencia en C, ¿sería constructiva o destructiva?

 

Solución:

Datos: A = 0,5 cm; f = 50 Hz; v = 10 cm/s; BA = 3 cm: BC = 4 cm

a)  Primero calcularemos la semilongitud de onda:

 

 

 

Ahora hallaremos la diferencia de camino:

 

 

 

d = AB – BC = d1 – d2

 

Para hallar d1, aplicaremos el teorema de Pitágoras:

 

 

 

 

Por tanto:

 

 

d = 5 cm – 4 cm = 1 cm

 

d/(l/2) = 1 cm/0,10 cm = 10 (Par)

 

La diferencia de camino es un múltiplo par de la semilongitud de onda, por tanto, la interferencia es constructiva, luego se suman las amplitudes de las ondas dando una amplitud:

 

0,5 cm + 0,5 cm = 1 cm

b)  Si las distancias se reducen a la mitad, la diferencia de camino será la mitad, por tanto:

 

 

d/(l/2) = 0,5 cm/0,10 cm = 5 (Impar)

La diferencia de camino es un múltiplo impar de la semilongitud de onda, luego la interferencia es destructiva, se restan las amplitudes de las ondas dando una amplitud:

 

0,5 cm – 0,5 cm = 0

 

 

 

 

Momento de inercia. Teorema de Steiner 04

 

a) Calcula el momento de inercia de una varilla, masa m, longitud L, respecto a un eje perpendicular a distancia L/4 de un extremo.

 

b) Calcula el momento de inercia de un disco homogéneo, masa m, radio R, girando respecto a un eje perpendicular por su extremo.

 

c) El momento de inercia de un cuerpo de masa 2 kg respecto a un eje que pasa a 0,5 m del c.d.m vale 0,4 kg·m2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo situado 0,3 m más lejos del c.d.m.

 

 

Solución:

 

a) 

 

 

Aplicando el teorema de Steiner:

 

I =I0 + md2, siendo:

 

I0 el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje que pasa por su c.d.m.

 

I el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al que pasa por su c.d.m.

 

d distancia entre los ejes.

 

Por tanto:

 

Momento de inercia de una varilla delgada respecto a un eje perpendicular a su punto medio:

 

I0 = (1/12) mL2

Luego:

bb  

b)

 

Aplicando el teorema de Steiner:

 

I =I0 + md2

 

Momento de inercia de un disco, cuya masa está distribuida uniformemente, respecto a un eje perpendicular por su centro:

 

I0 = (1/2) mR2

 

Por tanto:

I = (1/2) mR2+ mR2 = (3/2) mR2

 

c) Datos: m = 2 kg; d1 = 0,5 m; I1 = 0,4 kg·m2; d2 = 0,3 m

 

 

El  teorema de Steiner no se puede aplicar entre dos ejes paralelos cualesquiera, uno de ellos tiene que pasar por el c.d.m del cuerpo, luego en este problema se debe utilizar dicho teorema para cada una de las dos distancias.

 

 

 

 

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