El Sapo Sabio

Archivo de abril de 2011

 

Por una cuerda cuya densidad lineal es 4,5 g/m se propaga una onda transversal de amplitud 2 mm y frecuencia 100 Hz. Siendo la velocidad de propagación 150 m/s, calcula:

a)  Densidad de energía almacenada en la cuerda.

b)  Intensidad de la onda.

 

Solución:

Datos: λ = 4,5·10 ^–3 kg/m; y₀ = 2·10 ^–3 m; f = 100 Hz o s ^–1   

a)

e = 2 π² λ y₀² f² = 2 π²·4,5·10^–3 (kg/m) ·4·10^–6 m²·10 ⁴ s^–2 = 3,55·10^–3 J/m

 

La suma de las energías de oscilación de las partículas contenidas en 1 metro de cuerda es 3,55·10 ^{̶ 3} J

b)  Dato: v = 150 m/s 

I = e v = 3,55·10^–3 (J/m)·150 (m/s) = 0,53 W

 

Este apartado también se puede resolver mediante el siguiente razonamiento:

En un segundo la onda avanza 150 metros. Las partículas contenidas en este trayecto comienzan a oscilar, lo cual requiere una energía de 0,532 J (150 m·3,55·10 ^{̶ 3} J/m), por tanto la onda tendrá que transportar 0,532 J cada segundo.

 

 

 

 

A lo largo de un resorte se produce una onda longitudinal de 50 Hz de frecuencia. Si la distancia entre dos compresiones sucesivas en el muelle es de 16 cm. Determina:

 

a)  La velocidad de la onda.

 

b)  Supuesta la onda armónica y que se propaga en el sentido positivo del eje OY, escribe su ecuación, suponiendo que en t = 0 el foco se encuentra en posición de máxima elongación positiva con amplitud 5 cm.

 

Solución:

Datos:

 

a)

 

 

 

 

 

b)  Primero estableceremos la ecuación de la perturbación del foco:

Como la onda que se origina es longitudinal, la perturbación deberá ser en la dirección de propagación (OY).

 

Tenemos los siguientes datos: t = 0 → y = y₀ (máxima elongación) y, ahora, hallaremos la fase inicial:

Era evidente que si la elongación inicial era la máxima positiva, la fase inicial debía ser π/2.

Esta fase inicial del foco se añade directamente a la fase espacio–temporal de la onda, con lo que se obtiene:

Parámetros de la onda:

Amplitud:

y₀ = 5 cm

Constante de propagación:

    

Frecuencia angular:

 

 

Ecuación de onda:

 

La onda es longitudinal: se propaga a lo largo del eje vertical y cuando llega a un punto de coordenadas y’, éste comienza a oscilar verticalmente modificando su posición en y respecto a su posición de equilibrio; es decir, su posición es: y ‘ + y

 

 

Una onda transversal que se propaga de derecha a izquierda tiene una longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de propagación de 200 m/s. Halla:

 

a)  Función de onda.

 

b)  Velocidad y aceleración transversales máximas de un punto alcanzado por la vibración.

 

Solución:

Datos:

 

 

a)  Evidentemente la onda es elástica porque la amplitud de la perturbación está medida en m. La ecuación de onda será de la forma: 

 

 

El signo positivo en la fase, indica que la onda se propaga en sentido de X decreciente.

 

Parámetros de la onda:

 

 

Amplitud:

 

y₀ = 4 m

 

Constante propagación:

 

 

 

 

Frecuencia angular:

 

 

 

Ecuación de la onda (función de onda):

 

 

 

b)  Si en una onda elástica se fija un valor para x, la ecuación de onda se convierte en la ecuación de posición del movimiento armónico transversal del punto situado en dicha abscisa.

 

 

 

 

Derivando esta expresión respecto al tiempo resulta:

 

 

Velocidad transversal:

 

 

 

Aceleración transversal:

 

 

 

Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración son:

 

 

 

Nota: El resultado de la aceleración se ha tomado sin signo, porque se sobreentiende que el valor máximo de una magnitud se refiere al módulo de ésta.