Archivo de noviembre de 2010

Campo gravitatorio de planetas y satélites 02

 

Dos planetas tienen la misma intensidad de campo en su superficie siendo uno de ellos 25 veces más masivo que el otro. Determina la relación entre sus radios y entre sus densidades.

 

Solución:

Datos: g1 = g2; M1 = 25 M2

Como queremos obtener la relación de los radios de ambos planetas, utilizaremos las fórmulas en la que aparezcan éstos.

Intensidad de campo en la superficie del planeta que tiene mayor masa (1):

g1 = G M1 / R12

Intensidad de campo en la superficie del planeta tiene menor masa (2)

g2 = G M2 / R22

Como: g1 = g2, se cumple que:

G M1 / R12 = G M2 / R22

Simplificando G y sustituyendo M1:

25 M2 / R12 = M2 / R22

25 = R12 / R22

(R1 / R2) = 25

Podemos ver, que el planeta más masivo tiene un radio cinco veces mayor que el de menor masa.

Ahora trabajaremos con las fórmulas en las que aparezcan las densidades de los dos planetas.

Densidad del planeta con mayor masa (1):

d1 = M1 / V1 = M1 / (4/3) π R13 = 3 M1 / 4 π R13

Densidad del planeta con menor masa (2):

d2 = M2 / V2 = M2 / (4/3) π R23 = 3 M2 / 4 π R23

Dividiendo, miembro a miembro, ambas ecuaciones y sustituyendo M1, obtenemos:

d1 / d2 = (3 · 25 M2 / 4 π R13) / (3 M2 / 4 π R23)

d1 / d2 = 3 · 25 M2 · 4 π R23 / 4 π R13 · 3 M2

d1 / d2 = 25 R23 / R13

d1 / d2 = 25 (R2 / R1)3

 d1 / d2 = 25 (1/5)3

d1 / d2 = 1/5

d2 / d1 = 5

Es curioso observar que el planeta con menor masa, es más denso que el más masivo. Estaríamos, por ejemplo, ante la Tierra y Júpiter; la Tierra es menos masiva pero más densa, ya que es un planeta sólido, mientras que Júpiter es muy masivo pero poco denso, pues es un planeta gaseoso. 

 

 

Campo gravitatorio de planetas y satélites 01

 

Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de Mercurio, suponiendo que los radios de Mercurio y la Tierra están en relación 1/3 y que sus densidades están en relación 3/5.

 

Solución:

Datos: RM / RT = 1/3; dM / dT = 3/5

Como conocemos la relación que existen entre los radios y las densidades de ambos planetas, debemos hallar sus respectivas gravedades en función de ambos datos.

Campo gravitatorio en la superficie de Mercurio:

gM = G MM / RM2

Densidad de Mercurio:

dM = MM / VM

Masa de Mercurio:

MM = dM VM

Volumen de Mercurio (una esfera):

VM = (4/3) π RM3

Sustituyendo en la ecuación de la gravedad:

gM = G dM VM / RM2 = G dM (4/3) π RM3 / RM2 = (4/3) π G dM RM

Realizando el mismo proceso con la Tierra:

Campo gravitatorio en la superficie de la Tierra:

gT = G MT / RT2

Densidad de la Tierra:

dT = MT / VT

Masa de la Tierra:

MT = dT VT

Volumen de la Tierra (una esfera):

VT = (4/3) π RT3

Sustituyendo en la ecuación de la gravedad:

gT = G dT VT / RT2 = G dT (4/3) π RT3 / RT2 = (4/3) π G dT RT

Dividiendo, miembro a miembro, las dos ecuaciones de las respectivas gravedades:

gM / gT = (4/3) π G dM RM / (4/3) π G dT RT = dM RM / dT RT

 

gM / gT = (dM / dT) (RM / RT) = (3/5) (1/3) = 3/15

 

  gM = (3/15) gT = (3/15) · 9,8 (m/s2) = 1,96 m/s2

Otra posible manera de realizar el problema es la siguiente:

gM / gT = (G MM / RM2) / (G MT / RT2) = MM RT2 / MT RM2

 

gM / gT = (MM / MT) (RT / RM)2 = (MM / MT) · 32 = 9 · (MM / MT)

 

gM / gT = 9 (dM VM / dT VT) = 9 (dM / dT) (VM / VT)

 

gM / gT = 9 (3/5) [(4/3) π RM3 / (4/3) π RT3]

 

gM / gT = 9 (3/5) (RM / RT)3 = 9 (3/5) (1/3)3 = 27/135 = 1/5

 

gM = gT / 5 = 9,8 (m/s2) / 5 = 1,96 m/s2

 

 

Campo gravitatorio de la Tierra 04

 

Para que la gravedad terrestre disminuya un 5% determina:

 

a)      A qué altura sobre la superficie hay que subir.

 

b)      A qué profundidad bajo la superficie hay que penetrar.

 

Radio de la Tierra: 6370 km 

 

Solución:

 

Datos: g1 = g – 0,05 g; R = 6370 km

 

a)      El campo a una altura r sobre la superficie, es igual a la que crearía toda la masa del planeta concentrada en su centro.

 

g = G M / r2

 

Gravedad (campo) en el exterior del planeta:

 

g1 = G M / r2

 

Gravedad (campo) en la superficie del planeta:

 

g = G M / R2

 

Dividiendo, miembro a miembro, ambas ecuaciones, obtenemos:

 

 

 

 

La altura sobre la superficie terrestre será:

 

h = 1,03 R  – R = 0,03 · 6370 km = 191 km

 

b)      El campo a una profundidad p bajo la superficie, es igual al que habría en la superficie de un subplaneta de radio: r = R – p. Es decir, sería el campo que crearía la masa M1 de este subplaneta concentrada puntualmente en el centro.

 

Masa del subplaneta:

 

Dado un planeta homogéneo de masa M  y radio R, queremos averiguar la masa M1 de un “subplaneta” concéntrico con él y de radio menor r.

 

 

 

Densidad del planeta:

 

d = M /V = M / (4/3) π R3

 

 Densidad del subplaneta:

 

d1 = M1 /V1 = M1 / (4/3) π r3

 

Como, según hemos dicho, el planeta es homogéneo, tendrá la misma densidad en todos sus puntos, o sea:

 

d = d1

 

Por tanto:

 

M / (4/3) π R3 = M1 / (4/3) π r3

 

M1 = M (r1 / R)3

 

Gravedad (campo) del subplaneta

 

g1 = G M1 / r2

 

Sustituyendo M1 por el valor anteriormente encontrado, obtenemos la gravedad del subplaneta en función de la masa del planeta:

 

 

Gravedad (campo) en la superficie del planeta:

g = G M / R2

 

Dividiendo, miembro a miembro, ambas ecuaciones, obtenemos:

 

 

Es interesante observar que, dentro del planeta, el valor de la gravedad es directamente proporcional a la distancia del centro del mismo.

 

La profundidad desde la superficie terrestre será:

 

p = R – r = R – 0,95 R = 0,05 R = 0,05 · 6370 km = 319 km

 

 

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Comentarios recientes
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo