El Sapo Sabio

Archivo de octubre de 2010

 

Un satélite gira alrededor de la Tierra a una altura de 700 km sobre el nivel del mar. Halla su período. Expresa el resultado en horas.

Datos de la Tierra: M_T = 5,98·10²⁴ kg; R_T = 6370 km

 

Solución:

 

Datos: h = 700 km = 7·10⁵ m; M_T = 5,98·10²⁴ kg; R_T = 6370 km = 6,37·10⁶ m

 

Como conocemos el radio orbital (R_T + h) y la masa de la Tierra (M_T) y queremos obtener el período del satélite (T), debemos utilizar la fórmula que relacione las tres dimensiones.

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

 

 

Según la figura:

 

F = m a_n

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R²) = m (v² / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v²

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)²

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)² R² → G M / R³ = 4π² / T² → G M T² = 4π² R³ 

 

T² = 4π² R³ / G M

 

Como, en este caso, R = R_T + h, sustituyendo obtenemos la siguiente expresión:

 

T² = 4π² (R_T + h)³ / G M

 

Por tanto:

 

 

El satélite tarda 1,64 horas en dar una vuelta completa a la Tierra.

 

 

Dos bolas, que inicialmente se hallaban separadas por una distancia de 20 metros, se mueven en la misma dirección y sentido contrario. Una de ellas lo hace con una velocidad de 10 cm/s y la otra, que inicialmente llevaba una rapidez de 4 cm/s, acelera de manera constante a razón de 2 cm/s².

 

Calcula:

 

a)       Tiempo que tardan en encontrarse.

 

b)      Distancia que recorre cada bola hasta encontrarse.

 

Solución:

 

Primero realizaremos la representación de los movimientos de las bolas:

 

 

 

Datos de la bola 1:

 

Velocidad: v_0,1 = 10 cm/s. Espacio inicial: x_0,1 = 0

 

Datos de la bola 2:

 

Velocidad inicial: v_0,2 = 4 cm/s. Aceleración: a = 2 cm/s². Espacio inicial: x_0,2 = 2000 cm

 

Ecuación del movimiento de la bola 1:

 

x₁ = v_0,1 t

 

Ecuación del movimiento de la bola 2:

 

x₂ = x_0,2 – v_0,2 t – (1/2) a t²

 

En punto de encuentro ambas bolas están a la misma distancia del origen, por tanto se cumple que:

 

x₁ = x₂

 

Sustituyendo, obtenemos:

 

v_0,1 t = x_0,2 – v_0,2 t – (1/2) a t²

 

Pasando todos los términos al primer miembro:

 

(1/2) a t² + v_0,1 t + v_0,2 t – x_0,2 = 0 → (1/2) a t² + (v_0,1 + v_0,2) t – x_0,2 = 0

 

Ahora, se puede resolver numéricamente:

 

(1/2) 2 (cm/s²) t² + (10 + 4) (cm/s) t – 2000 cm = 0 → t² + 14 t – 2000 = 0

 

 

Las bolas tardan, aproximadamente, 38,3 segundos en encontrarse.

 

La solución negativa nos es válida.

 

Distancia que recorre la bola 1:

 

x₁ = 10 (cm/s) 38,3 s = 383 cm = 3,83 m

 

Distancia que recorre la bola 2:

 

x₂ = 2000 cm – 383 cm = 1617 cm = 16,17 m

 

Aunque es un poco más complicado, el problema se puede resolver algebraicamente, a partir de la siguiente ecuación:

 

(1/2) a t² + (v_0,1 + v_0,2) t – x_0,2 = 0

 

La solución:

 

no sirve, pues daría un tiempo negativo.

 

 

Ahora se puede continuar como se ha hecho anteriormente.

 

 

 

 

 

 

 

 

Si la Luna siguiera una órbita circular en torno a la Tierra, pero con un radio igual a la cuarta parte de su valor actual, ¿cuál sería su período de revolución?

 

Toma el período actual igual a 28 días.

 

Solución:

 

Datos: R₂ = (1/4) R₁; T₁ = 28 días

 

Como los datos que tenemos son el radio orbital (R₁) y el período de la Luna (T₁) y queremos obtener el nuevo período (T₂), debemos utilizar la fórmula que los relacione.

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

 

Según la figura:

 

F = m a_n

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R²) = m (v² / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v²

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)²

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)² R² → G M / R³ = 4π² / T² → G M T² = 4π² R³ 

 

T² = 4π² R³ / G M

 

Aplicando la anterior expresión a la Luna real:

 

T₁² = 4π² R₁³ / G M

 

Si ahora aplicamos a la Luna hipotética:

 

T₂² = 4π² R₂³ / G M

 

Dividiendo ambas expresiones:

 

T₁² / T₂² = (4π² R₁³ / G M) / (4π² R₂³ / G M)

 

Simplificando:

 

T₁² / T₂² = R₁³ / R₂³

 

 

Si el radio la Luna fuera la cuarta parte de su valor actual, su período de revolución sería 3,5 días.