Archivo de octubre de 2010
Período de los satélites 03
Un satélite gira alrededor de la Tierra a una altura de 700 km sobre el nivel del mar. Halla su período. Expresa el resultado en horas.
Datos de la Tierra: MT = 5,98·1024 kg; RT = 6370 km
Solución:
Datos: h = 700 km = 7·105 m; MT = 5,98·1024 kg; RT = 6370 km = 6,37·106 m
Como conocemos el radio orbital (RT + h) y la masa de la Tierra (MT) y queremos obtener el período del satélite (T), debemos utilizar la fórmula que relacione las tres dimensiones.
Relación entre el período y el radio orbital:
Según la figura:
F = m an
Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:
G (M m / R2) = m (v2 / R)
Simplificando las masas y los radios, tenemos:
G (M / R) = v2
Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:
v = ω R
Sustituyendo:
G (M / R) = (ω R)2
Ahora bien, la velocidad angular es igual a:
ω = 2π / T
Volviendo a sustituir:
G (M / R) = (2π / T)2 R2 → G M / R3 = 4π2 / T2 → G M T2 = 4π2 R3
T2 = 4π2 R3 / G M
Como, en este caso, R = RT + h, sustituyendo obtenemos la siguiente expresión:
T2 = 4π2 (RT + h)3 / G M
Por tanto:
El satélite tarda 1,64 horas en dar una vuelta completa a la Tierra.
Móviles al encuentro y en persecución 02
Dos bolas, que inicialmente se hallaban separadas por una distancia de 20 metros, se mueven en la misma dirección y sentido contrario. Una de ellas lo hace con una velocidad de 10 cm/s y la otra, que inicialmente llevaba una rapidez de 4 cm/s, acelera de manera constante a razón de 2 cm/s2.
Calcula:
a) Tiempo que tardan en encontrarse.
b) Distancia que recorre cada bola hasta encontrarse.
Solución:
Primero realizaremos la representación de los movimientos de las bolas:
Datos de la bola 1:
Velocidad: v0,1 = 10 cm/s. Espacio inicial: x0,1 = 0
Datos de la bola 2:
Velocidad inicial: v0,2 = 4 cm/s. Aceleración: a = 2 cm/s2. Espacio inicial: x0,2 = 2000 cm
Ecuación del movimiento de la bola 1:
x1 = v0,1 t
Ecuación del movimiento de la bola 2:
x2 = x0,2 – v0,2 t – (1/2) a t2
En punto de encuentro ambas bolas están a la misma distancia del origen, por tanto se cumple que:
x1 = x2
Sustituyendo, obtenemos:
v0,1 t = x0,2 – v0,2 t – (1/2) a t2
Pasando todos los términos al primer miembro:
(1/2) a t2 + v0,1 t + v0,2 t – x0,2 = 0 → (1/2) a t2 + (v0,1 + v0,2) t – x0,2 = 0
Ahora, se puede resolver numéricamente:
(1/2) 2 (cm/s2) t2 + (10 + 4) (cm/s) t – 2000 cm = 0 → t2 + 14 t – 2000 = 0
Las bolas tardan, aproximadamente, 38,3 segundos en encontrarse.
La solución negativa nos es válida.
Distancia que recorre la bola 1:
x1 = 10 (cm/s) 38,3 s = 383 cm = 3,83 m
Distancia que recorre la bola 2:
x2 = 2000 cm – 383 cm = 1617 cm = 16,17 m
Aunque es un poco más complicado, el problema se puede resolver algebraicamente, a partir de la siguiente ecuación:
(1/2) a t2 + (v0,1 + v0,2) t – x0,2 = 0
La solución:
no sirve, pues daría un tiempo negativo.
Ahora se puede continuar como se ha hecho anteriormente.
Período de los satélites 02
Si la Luna siguiera una órbita circular en torno a la Tierra, pero con un radio igual a la cuarta parte de su valor actual, ¿cuál sería su período de revolución?
Toma el período actual igual a 28 días.
Solución:
Datos: R2 = (1/4) R1; T1 = 28 días
Como los datos que tenemos son el radio orbital (R1) y el período de la Luna (T1) y queremos obtener el nuevo período (T2), debemos utilizar la fórmula que los relacione.
Relación entre el período y el radio orbital:
Según la figura:
F = m an
Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:
G (M m / R2) = m (v2 / R)
Simplificando las masas y los radios, tenemos:
G (M / R) = v2
Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:
v = ω R
Sustituyendo:
G (M / R) = (ω R)2
Ahora bien, la velocidad angular es igual a:
ω = 2π / T
Volviendo a sustituir:
G (M / R) = (2π / T)2 R2 → G M / R3 = 4π2 / T2 → G M T2 = 4π2 R3
T2 = 4π2 R3 / G M
Aplicando la anterior expresión a la Luna real:
T12 = 4π2 R13 / G M
Si ahora aplicamos a la Luna hipotética:
T22 = 4π2 R23 / G M
Dividiendo ambas expresiones:
T12 / T22 = (4π2 R13 / G M) / (4π2 R23 / G M)
Simplificando:
T12 / T22 = R13 / R23
Si el radio la Luna fuera la cuarta parte de su valor actual, su período de revolución sería 3,5 días.