Archivo de septiembre de 2010

Masa, peso y densidad de los cuerpos celestes 03

 

 Para los planetas del sistema solar, según la tercera ley de Kepler, la relación R3/T2 es constante y vale 3,35·1018 m3/s2, siendo R el radio de sus órbitas y T el período de rotación. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcula la masa del Sol.

 

Solución:

 

Datos: K = 3,35·1018 m3/s2; G = 6,67·10–11 N m2/kg2     

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

 

 

Según la figura:

 

F = m an

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R2) = m (v2 / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v2

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)2

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)2 R2 → G (M / R) = 4π2 R2 / T2

 

G M / 4π2 = R3 / T2

 

La constante de Kepler proporciona la relación entre el cubo del radio y el cuadrado del período, para cualquier órbita alrededor del Sol, es decir:

 

R3 / T2 = K

 

Igualando las dos ecuaciones, se obtiene que:

 

G M / 4π2 = K

 

Despejando la masa de la expresión anterior:

 

M = 4π2 K / G

 

 

Masa, peso y densidad de los cuerpos celestes 02

 

Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular de radio 2 veces el de la Tierra. Si en la superficie de la Tierra, el satélite pesa 10500 N, ¿cuál será su peso en la órbita?

 

Solución:

 

Datos: R = 2 RT ; PT = 10500 N 

 

Si P, m y g son el peso, la masa y la gravedad del satélite, respectivamente, tenemos que:

 

P = m g

 

Ahora bien, la gravedad en la órbita es:

g = G M / R2

 

Sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene:

 

P = m G M / R2 = m G M / (2 RT)2 = (1/4) m (G M /RT2)

 

Pero la gravedad en la superficie de es:

 

g = G M / RT2

 

Volviendo a sustituir:

 

P = (1/4) m gT

 

Por otra parte la masa del satélite es:

 

m = PT / gT

 

Peso del satélite en la órbita:

 

P = (1/4) (PT / gT) gT = PT / 4

 

P = 10500 N / 4 = 2625 N

 

 

Masa, peso y densidad de los cuerpos celestes 01

 

El satélite Europa tiene un período de rotación alrededor de Júpiter de 85 horas y su órbita, prácticamente circular, tiene un radio de 6,67·105 km. Calcula la masa de Júpiter.

 

Dato: G = 6,67·10–11 N m2 / kg2 

 

Solución:

 

Datos: T = 85 h; R = 6,67·105 km; G = 6,67·10–11 N m2 / kg2

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

Según la figura:

 

F = m an

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R2) = m (v2 / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v2

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)2

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)2 R2

 

Despejando la masa:

 

 

Sustituyendo en la ecuación anterior las incógnitas por sus valores, obtenemos:

 

Otro punto de vista para realizar este problema, es utilizar la fuerza centrífuga:

 

 

Según la figura, para que el satélite permanezca en su órbita, se debe cumplir que las dos fuerzas que actúan sobre él, estén en equilibrio, es decir, que la fuerza de gravedad (FG) sea igual a la fuerza centrífuga (FC), luego:

FG = FC → G (M m / R2) = m (v2 / R)

Ahora continuaremos de la misma forma que en el principio del problema.

 

 

 

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