El Sapo Sabio

Archivo de septiembre de 2010

 

 Para los planetas del sistema solar, según la tercera ley de Kepler, la relación R³/T² es constante y vale 3,35·10¹⁸ m³/s², siendo R el radio de sus órbitas y T el período de rotación. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcula la masa del Sol.

 

Solución:

 

Datos: K = 3,35·10¹⁸ m³/s²; G = 6,67·10^–11 N m²/kg²     

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

 

 

Según la figura:

 

F = m a_n

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R²) = m (v² / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v²

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)²

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)² R² → G (M / R) = 4π² R² / T²

 

G M / 4π² = R³ / T²

 

La constante de Kepler proporciona la relación entre el cubo del radio y el cuadrado del período, para cualquier órbita alrededor del Sol, es decir:

 

R³ / T² = K

 

Igualando las dos ecuaciones, se obtiene que:

 

G M / 4π² = K

 

Despejando la masa de la expresión anterior:

 

M = 4π² K / G

 

 

 

Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular de radio 2 veces el de la Tierra. Si en la superficie de la Tierra, el satélite pesa 10500 N, ¿cuál será su peso en la órbita?

 

Solución:

 

Datos: R = 2 R_T ; P_T = 10500 N 

 

Si P, m y g son el peso, la masa y la gravedad del satélite, respectivamente, tenemos que:

 

P = m g

 

Ahora bien, la gravedad en la órbita es:

g = G M / R²

 

Sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene:

 

P = m G M / R² = m G M / (2 R_T)² = (1/4) m (G M /R_T²)

 

Pero la gravedad en la superficie de es:

 

g = G M / R_T²

 

Volviendo a sustituir:

 

P = (1/4) m g_T

 

Por otra parte la masa del satélite es:

 

m = P_T / g_T

 

Peso del satélite en la órbita:

 

P = (1/4) (P_T / g_T) g_T = P_T / 4

 

P = 10500 N / 4 = 2625 N

 

 

 

El satélite Europa tiene un período de rotación alrededor de Júpiter de 85 horas y su órbita, prácticamente circular, tiene un radio de 6,67·10⁵ km. Calcula la masa de Júpiter.

 

Dato: G = 6,67·10^–11 N m² / kg² 

 

Solución:

 

Datos: T = 85 h; R = 6,67·10⁵ km; G = 6,67·10^–11 N m² / kg²

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

Según la figura:

 

F = m a_n

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R²) = m (v² / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v²

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)²

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)² R²

 

Despejando la masa:

 

 

Sustituyendo en la ecuación anterior las incógnitas por sus valores, obtenemos:

 

Otro punto de vista para realizar este problema, es utilizar la fuerza centrífuga:

 

 

Según la figura, para que el satélite permanezca en su órbita, se debe cumplir que las dos fuerzas que actúan sobre él, estén en equilibrio, es decir, que la fuerza de gravedad (F_G) sea igual a la fuerza centrífuga (F_C), luego:

F_G = F_C → G (M m / R²) = m (v² / R)

Ahora continuaremos de la misma forma que en el principio del problema.