El Sapo Sabio

Archivo de agosto de 2010

 

b)      k = 0,5

 

Supongamos que después del choque, ambas bolas se mueven hacia la derecha.

 

Momento lineal antes del choque:

 

 

P = m₁ v₁ + m₂ v₂

 

Momento lineal después del choque:

 

 

 P’ = m₁ v’₁ + m₂ v’₂

 

Conservación del momento lineal:

 

 

Durante el choque las bolas sólo están sometidas a la fuerza mutua de contacto F’ (interior), porque en cada una de ellas se compensan el peso y la normal (exteriores), por tanto el momento lineal se conserva.

 

P = P’ → m₁ v₁ + m₂ v₂ = m₁ v’₁ + m₂ v’₂

 

Condición de choque frontal:

 

(v’₁ – v’₂) = –k (v₁ – v₂)

 

Combinando las dos expresiones halladas, se obtiene el siguiente sistema cuyas incógnitas son v’₁ y v’₂:

 

 

Resolviendo por Cramer:

 

 

Tras el choque la bola 1 se mueve hacia la izquierda a 0,7 cm/s y la bola 2 se mueve hacia la derecha, a 0,8 cm/s.

 

La suposición de que ambas bolas se mueven hacia la derecha no es correcta, ya que la 1 se mueve hacia la izquierda como indica el signo negativo de su resultado.

 

Comprobación:

 

Velocidad relativa, antes del choque, de la bola 1 respecto a la dos:

 

v₁ – v₂ = 2 cm/s – (–1 cm/s) = 3 cm/s 

 

La bola 1 se aproxima a la 2, a 1 cm/s.

 

Velocidad relativa, después del choque, de la bola 1 respecto a la dos:

 

v’₁ – v’₂ =  –0,7 cm/s – 0,8 cm/s = –1,5 cm/s 

 

La bola 1 se aleja de la 2 a, 1,5 cm/s.

 

Tras el choque la velocidad relativa se invierte, reduciendo su valor al 50% (k = 0,5).

 

Energía cinética perdida:

 

 

 

En el choque se ha perdido un 73,5% de la energía cinética inicial, desde otro punto de vista, se ha conservado el 26,5% de la energía cinética que se ha repartido entre las dos bolas.

 

 

 

Una bola de masa 100 gramos, moviéndose a 2 cm/s, alcanza a otra bola de masa 150 gramos, que se mueve a 1 cm/s en su misma dirección y sentido contrario. Calcula la velocidad de cada bola tras el choque y la energía cinética perdida en el choque (cantidad y porcentaje), suponiendo:

 

a)      Choque elástico.

 

b)      Choque inelástico con coeficiente de restitución de 0,5.

 

c)      Choque totalmente inelástico.

 

Solución:

 

Datos: m₁ =100 g; v₁ = 2 cm/s; m₂ = 150 g; v₂ = –1 cm/s

 

a)      k = 1

 

Supongamos que después del choque, ambas bolas se mueven hacia la derecha.

 

Momento lineal antes del choque:

 

 

P = m₁ v₁ + m₂ v₂

 

Momento lineal después del choque:

 

 

P’ = m₁ v’₁ + m₂ v’₂

 

Conservación del momento lineal:

 

 

Durante el choque las bolas sólo están sometidas a la fuerza mutua de contacto F’ (interior), porque en cada una de ellas se compensan el peso y la normal (exteriores), por tanto el momento lineal se conserva.

 

P = P’ → m₁ v₁ + m₂ v₂ = m₁ v’₁ + m₂ v’₂

 

Condición de choque frontal:

 

(v’₁ – v’₂) = –k (v₁ – v₂)

 

Combinando las dos expresiones halladas, se obtiene el siguiente sistema cuyas incógnitas son v’₁ y v’₂:

 

 

Resolviendo por Cramer:

 

 

Tras el choque la bola 1 se mueve hacia la izquierda a 1,6 cm/s y la bola 2 se mueve hacia la derecha, a 1,4 cm/s.

 

La suposición de que ambas bolas se mueven hacia la derecha no es correcta, pues, como ya se ha dicho, la bola 1 lo hace al contrario ya que resultado es de signo negativo.

 

Comprobación:

 

Velocidad relativa, antes del choque, de la bola 1 respecto a la dos:

 

v₁ – v₂ = 2 cm/s – (–1 cm/s) = 3 cm/s 

 

La bola 1 se aproxima a la 2, a 3 cm/s.

 

Velocidad relativa, después del choque, de la bola 1 respecto a la dos:

 

v’₁ – v’₂ = –1,6 cm/s – 1,4 cm/s = –3 cm/s 

 

La bola 1 se aleja de la 2 a, 3 cm/s.

 

Tras el choque la velocidad relativa se invierte.

 

Energía cinética perdida y conservada:

 

La variación de energía cinética es la diferencia entre las energías cinéticas de ambos cuerpos antes y después del choque:

ΔEc = (Ec’₁ + Ec’₂) – (Ec₁ + Ec₂) 

 

Esta variación de energía cinética puede ser cero (choque elástico), o negativa (choque inelástico)

 

Se define fracción de energía perdida (χ_p), al cociente de la variación de energía cinética entre la energía cinética inicial:

 

 

 

(χ_p ha de ser menor o igual que cero)

 

Se define fracción de energía conservada (χ_c), al cociente de la energía cinética final entre la energía cinética inicial:

 

 

Evidentemente: χ_c – χ_p = 1.

 

Energía cinética perdida:

 

 

La energía cinética se ha conservado, hay la misma antes que después del choque, pero repartida de forma diferente.

 

 

 

 

c)      k = 0

 

Tras un choque totalmente inelástico los cuerpos quedan unidos y por tanto se mueven con la misma velocidad.

 

Supongamos que después del choque, ambas bolas continúan moviéndose en el mismo sentido que antes del choque.

 

Momento lineal antes del choque:

 

 

P = m₁ v₁ + m₂ v₂

 

Momento lineal después del choque:

 

 

P’ = (m₁ + m₂) v’

 

Conservación del momento lineal:

 

 

Durante el choque las bolas sólo están sometidas a la fuerza mutua de contacto F’ (interior), porque en cada una de ellas se compensan el peso y la normal (exteriores), por tanto el momento lineal se conserva.

 

 

 

Tras el choque las dos bolas juntas se mueven hacia la derecha a 1,4 cm/s.

 

La suposición de que ambas bolas unidas se mueven hacia la derecha es correcta, ya que el resultado obtenido es de signo positivo.

 

Energía cinética perdida:

 

 

 

En el choque se ha perdido un 10,9% de la energía cinética inicial, esta es la máxima perdida de energía posible en un choque con las masas y velocidades dadas. Desde otro punto de vista se ha conservado el 89,1% de la energía cinética.