Archivo de julio de 2010

Choques. Energía y conservación del momento lineal 01 (1ª parte)

 

Una bola de masa 100 gramos, moviéndose a 2 cm/s, alcanza a otra bola de masa 150 gramos, que se mueve a 1 cm/s en su misma dirección y sentido. Calcula la velocidad de cada bola tras el choque y la energía cinética perdida en el choque (cantidad y porcentaje), suponiendo:

 

a)      Choque elástico.

 

b)      Choque inelástico con coeficiente de restitución de 0,5.

 

c)      Choque totalmente inelástico.

 

Solución:

 

Datos: m1 = 100 g; v1 = 2 cm/s; m2 = 150 g; v2 = 1 cm/s

 

a)       k = 1

 

Supongamos que después del choque, ambas bolas continúan moviéndose en el mismo sentido que antes del choque.

 

Momento lineal antes del choque:

 

 

P = m1 v1 + m2 v2

 

Momento lineal después del choque:

 

 

P’ = m1 v’1 + m2 v’2

 

Conservación del momento lineal:

 

 

Durante el choque las bolas sólo están sometidas a la fuerza mutua de contacto F’ (interior), porque en cada una de ellas se compensan el peso y la normal (exteriores), por tanto el momento lineal se conserva.

 

P = P’ → m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2

 

Condición de choque frontal:

 

(v’1 – v’2) = –k (v1 – v2)

 

Combinando las dos expresiones halladas, se obtiene el siguiente sistema cuyas incógnitas son v’1 y v’2:

 

 

Resolviendo por Cramer:

 

 

Tras el choque la bola 1 se mueve hacia la derecha a 0,8 cm/s y la bola 2 se mueve, también hacia la derecha, a 1,8 cm/s.

 

La suposición de que ambas bolas se mueven hacia la derecha es correcta, ya que ambos resultado son de signo positivo.

 

Comprobación:

 

Velocidad relativa, antes del choque, de la bola 1 respecto a la dos:

 

v1 – v2 = 2 cm/s – 1 cm/s = 1 cm/s 

 

La bola 1 se aproxima a la 2, a 1 cm/s.

 

Velocidad relativa, después del choque, de la bola 1 respecto a la dos:

 

v’1 – v’2 = 0,8 cm/s – 1,8 cm/s = –1 cm/s 

 

La bola 1 se aleja de la 2 a 1 cm/s.

 

Tras el choque la velocidad relativa se invierte.

 

Energía cinética perdida y conservada:

 

La variación de energía cinética es la diferencia entre las energías cinéticas de ambos cuerpos antes y después del choque:

 

ΔEc = (Ec’1 + Ec’2) – (Ec1 + Ec2) 

 

Esta variación de energía cinética puede ser cero (choque elástico), o negativa (choque inelástico)

 

Se define fracción de energía perdida (χp), al cociente de la variación de energía cinética entre la energía cinética inicial:

 

 

p ha de ser menor o igual que cero)

 

Se define fracción de energía conservada (χc), al cociente de la energía cinética final entre la energía cinética inicial:

 

 

Evidentemente: χc – χp = 1.

 

Energía cinética perdida:

 

 

La energía cinética se ha conservado, hay la misma antes que después del choque, pero repartida de forma diferente.

 

 

Principio de conservación. Poleas 03

 

Calcula la velocidad angular de la polea, cuando ésta haya dado una vuelta partiendo del reposo.

Datos: m1 = 4kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm. Momento de inercia de la doble polea: I = 2 kg· m2.

 

Solución:

 

Datos: m1 = 4kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm; I = 2 kg· m2; v0 = 0; ω0 = 0; φ = 1 v = 2π rad

 

Sentido de giro:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g                     T2 = m 2 g

 

Momento del torque sobre la polea:

 

 

 

  

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

 

M = R1 m1 g + 0 + 0 – R2 m2 g = g (R1 m1 – R2 m2) 

 

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que, según los datos del problema: R2 m2 > R1 m1.

 

 

La polea girará un ángulo φ y tomará una velocidad ω. El bloque 2 descenderá un espacio d2 con una velocidad v2 y el bloque 1 subirá un espacio d1, adquiriendo una velocidad  v1.

 

Principio de conservación:

 

 

 

 

ΣW = ΔEp + ΔEc

 

 

 

 

Calculo del trabajo total:

 

Trabajo de rotación sobre la polea:

 

 

 

 

MM g = MN = 0, las fuerzas están aplicadas al eje, luego no realizarán ningún trabajo.

 

 

 

Trabajo del bloque 1:

 

 

El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp1.

 

 

Trabajo del bloque 2:

 

 

El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp2.

 

 

Ahora se debe poner las distancias d1 y d2 en función del ángulo φ, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.           

 

 

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

 

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:

 

d = φ R (Definición de radián)

 

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

 

 

                         

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

 

Sustituyendo en las ecuaciones de los bloques:

 

 

Cálculo de las energías:

 

Estado inicial:

 

 

 

 ωi = 0       v1,0 = 0       v2,0 = 0

 

Estado final:

 

ωf  = ω       v1,f = v1       v2,f = v2              

 

 

 

 

 h1,fin = d1 + h1,in → d1 = h1,fin – h1,in

 

 

h2,in = d2 + h2,fin → –d2 = h2,fin – h2,in

 

Sustituyendo en la ecuación de la energía potencial:

 

 

De todo lo anterior se tiene:

 

 

Una forma más simple de realizar el problema es mediante el siguiente razonamiento:

 

La energía potencial perdida por el bloque 2 al descender se transforma en energía cinética que adquiere dicho bloque, más la energía de cinética de rotación que gana la polea y la energía cinética y potencial que adquiere el bloque 1, por tanto:

 

 

Tensión en una cuerda 02

 

Un paracaidista de 80 kp de peso, se deja caer desde un globo que está en reposo a 5000 metros y cuando se halla a 4820 metros de altura, abre su paracaídas. Éste tarda 1,15 segundos en abrirse por completo y su velocidad se reduce a la mitad de la que llevaba en el instante de apertura del paracaídas. Suponiendo que el paracaídas carece de peso, calcula la tensión media ejercida sobre las cuerdas del paracaídas.  

 

Dato: g = 10 m/s2.

 

Solución:

 

Datos: P = 80 kp; y = 5000 m – 4820 m = 180 m; t = 1,15 s; g = 10 m/s2.

 

Fuerzas que intervienen:

 

 

 

P – T = m a → T = P – m a

 

Para poder hallar la tensión, necesitamos averiguar el valor de la aceleración que lleva el paracaidista, para lo cual acudiremos a Cinemática.

 

 

 

Ecuaciones del movimiento en el punto de apertura del paracaídas:

 

v2 = v1 – a t                  y = v1 t – (1/2) g t2

 

Como en ese punto v2 = (1/2) v1, si sustituimos en la ecuación de la velocidad, tenemos que:

 

(1/2) v1 = v1 – a t → a t = v1 – (1/2) v1 = (1/2) v1

 

a = v1 / 2 t

 

Para poder hallar la aceleración necesitamos conocer el valor de v1.

 

Ecuaciones del movimiento en la caída libre:

 

v1 = 0 – g t0                 –y = 0 – (1/2) g t02

 

De la segunda ecuación podemos hallar el tiempo de la caída:

 

 

Velocidad en el instante de apertura del paracaídas:

 

v1 =  –10 (m/s2) · 6 s = –60 m /s

 

Aceleración del paracaidista con el paracaídas totalmente abierto:

 

 

 

Sustituyendo en la ecuación de la tensión:

 

 

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