Archivo de junio de 2010

Principio de conservación. Disco 01

 
Un disco homogéneo de masa m = 5 kg y radio R = 1 m, con un eje perpendicular por su c.d.m, se encuentra en reposo. Tangencialmente al disco se aplica una fuerza de 4 N. Calcula la velocidad angular del disco al cabo de 10 vueltas.

 

Solución:

Datos: ω0 = 0; m = 5 kg; R = 1 m; F = 4 N; φ = 10 vueltas

Principio de conservación:

Trabajo realizado por la fuerza F:
 
WF = MF φ cos 0º = MF φ
 
Momento de la fuerza F:
 
MF = F R sen 90º = F R
 
Sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene:
 
WF = F R φ

 

El peso y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos y, por tanto, no realizarán trabajo alguno.

 
 
Se puede ver que la normal está inclinada para compensar a la fuerza horizontal (F) y a la fuerza vertical (P).
 
No hay cambio de energía potencial ya que el c.d.m del disco no cambia de altura porque está fijo en el eje de rotación, luego:
 
Δ Ep = 0
 
Δ Ecr = Ecr (final) – Ecr (inicial) = (1/2) I ω2 – (1/2) I ω02
 
Δ Ecr = (1/2) I ω2 – 0 = (1/2) I ω2
 
Aplicando al principio de conservación, se obtiene:

Momento de inercia de un disco, cuya masa está distribuida uniformemente, respecto a un eje perpendicular por su centro:
 
I = (1/2) m R2
 
Sustituyendo en la ecuación anterior:

 

Oscilador armónico simple 03

 
Una masa de 1 kg suspendida de un muelle oscila de acuerdo con la ecuación:
 
y = 20 sen (10 π t + π/2)   (y → cm; t → s)
 
Determina la constante elástica del muelle expresada en kp/cm.
 
Solución:
 
Datos: m = 1kg; y = 20 sen (10 π t + π/2)   (y → cm; t → s) 
 
Ecuación del movimiento:
 
y = A sen (ω t + φ0)
 
Comparando la ecuación del movimiento con la dada en el problema tenemos:
 
A = 20 cm;      ω = 10 π rad/s;            φ0 = (π/2) rad
 
 
 
Dimensionalmente:
 
 
 

Oscilador armónico simple 02

 
Un muelle se deforma 20 cm, cuando se le cuelga una masa de 4 kg. Si se estira de la masa separándola otros 20 cm de la posición de equilibrio y se suelta, halla:
 
a)      La frecuencia angular.
 
b)      La frecuencia y el período.
 
c)      La amplitud.
 
d)      Escribe las ecuaciones de movimiento, de la velocidad y de la aceleración.
 
Solución:
 
Datos: y0 = 20 cm; m = 4 kg; y = 40 cm
 

 

 

a)      En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, por tanto:
Fe = P
 
 
 
Cuando se separa del equilibrio, la fuerza elástica es mayor que el peso porque el muelle está mas estirado (y0 + Δy), que cuando sostenía el peso (y0). La fuerza útil va hacia arriba y por tanto la aceleración tiene el mismo sentido.
 
 
b)      Frecuencia:
 
  
 
Período:
 
 
c)      Amplitud:
 
A = Δy = y – y0 → A = 0,40 m – 0,20 m = 0,20 m
 
d)      Ecuación del movimiento:
y (t) = A sen (ω t + φ0)
 
Ecuación de la velocidad:
 
 
Ecuación de la aceleración:
 
 
Cuanto t = 0, y = A, luego:
 
 
Expresión de la elongación en función del tiempo:
 
 
Expresión de la velocidad en función del tiempo:
 
 
Expresión de la aceleración en función del tiempo:
 
 

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