Archivo de junio de 2010
Principio de conservación. Disco 01
29 de junio de 2010 | 
Autor: Un disco homogéneo de masa m = 5 kg y radio R = 1 m, con un eje perpendicular por su c.d.m, se encuentra en reposo. Tangencialmente al disco se aplica una fuerza de 4 N. Calcula la velocidad angular del disco al cabo de 10 vueltas.
Solución:
Datos: ω0 = 0; m = 5 kg; R = 1 m; F = 4 N; φ = 10 vueltas
Principio de conservación:
Trabajo realizado por la fuerza F:
WF = MF φ cos 0º = MF φ
Momento de la fuerza F:
MF = F R sen 90º = F R
Sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene:
WF = F R φ
El peso y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos y, por tanto, no realizarán trabajo alguno.
Se puede ver que la normal está inclinada para compensar a la fuerza horizontal (F) y a la fuerza vertical (P).
No hay cambio de energía potencial ya que el c.d.m del disco no cambia de altura porque está fijo en el eje de rotación, luego:
Δ Ep = 0
Δ Ecr = Ecr (final) – Ecr (inicial) = (1/2) I ω2 – (1/2) I ω02
Δ Ecr = (1/2) I ω2 – 0 = (1/2) I ω2
Aplicando al principio de conservación, se obtiene:
Momento de inercia de un disco, cuya masa está distribuida uniformemente, respecto a un eje perpendicular por su centro:
I = (1/2) m R2
Sustituyendo en la ecuación anterior:
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Oscilador armónico simple 03
Una masa de 1 kg suspendida de un muelle oscila de acuerdo con la ecuación:
y = 20 sen (10 π t + π/2) (y → cm; t → s)
Determina la constante elástica del muelle expresada en kp/cm.
Solución:
Datos: m = 1kg; y = 20 sen (10 π t + π/2) (y → cm; t → s)
Ecuación del movimiento:
y = A sen (ω t + φ0)
Comparando la ecuación del movimiento con la dada en el problema tenemos:
A = 20 cm; ω = 10 π rad/s; φ0 = (π/2) rad
Dimensionalmente:
Oscilador armónico simple 02
Un muelle se deforma 20 cm, cuando se le cuelga una masa de 4 kg. Si se estira de la masa separándola otros 20 cm de la posición de equilibrio y se suelta, halla:
a) La frecuencia angular.
b) La frecuencia y el período.
c) La amplitud.
d) Escribe las ecuaciones de movimiento, de la velocidad y de la aceleración.
Solución:
Datos: y0 = 20 cm; m = 4 kg; y = 40 cm
a) En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, por tanto:
Fe = P
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Cuando se separa del equilibrio, la fuerza elástica es mayor que el peso porque el muelle está mas estirado (y0 + Δy), que cuando sostenía el peso (y0). La fuerza útil va hacia arriba y por tanto la aceleración tiene el mismo sentido.
b) Frecuencia:
Período:
c) Amplitud:
A = Δy = y – y0 → A = 0,40 m – 0,20 m = 0,20 m
d) Ecuación del movimiento:
y (t) = A sen (ω t + φ0)
Ecuación de la velocidad:
Ecuación de la aceleración:
Cuanto t = 0, y = A, luego:
Expresión de la elongación en función del tiempo:
Expresión de la velocidad en función del tiempo:
Expresión de la aceleración en función del tiempo:
