El Sapo Sabio

Archivo de abril de 2010

Mediante la fuerza F se hace rodar sin deslizar un cilindro homogéneo (Masa: m, Radio: R), que inicialmente estaba en reposo, por una superficie horizontal. Determina: La aceleración angular, la aceleración lineal del c.d.m y la fuerza de rozamiento que permite el movimiento.

 Solución:

Traslación del c.d.m:   N = m g            F – Fr = m a   A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

Rotación alrededor del c.d.m:   Momento del torque (momento de una fuerza):     El peso del cilindro está aplicado en el eje, luego su momento es nulo, es decir:   Mm g = 0

Momentos de la fuerza F, de la fuerza de rozamiento y de la normal:

 Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

M = I α → R (F + F_r) = I α

 

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:   I = (1/2) m R2   Sustituyendo en las expresiones anteriores:

Otra forma de enfocar el problema es el siguiente, como nos piden una aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero hay que hallar la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

Rotación alrededor del c.d.m:   Momento del torque:     El peso del cilindro está aplicado en el eje, luego su momento es nulo, es decir:   Mmg = 0

Momentos de la fuerza F, de la fuerza de rozamiento y de la normal:

 Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

 Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

Traslación del c.d.m:     A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:   I = (1/2) m R2   Sustituyendo en las expresiones anteriores:

Como se puede observar, se ha obtenido el mismo resultado.   

Mediante la fuerza F se hace rodar sin deslizar un cilindro homogéneo (Masa: m, Radio: R), por una superficie horizontal con coeficiente de rozamiento μ. Determina:

Solución:

Traslación del c.d.m:   N = m g            F – Fr = m a   A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

 

Rotación alrededor del c.d.m:   Momento del torque (momento de una fuerza):     El peso del cilindro y la fuerza F están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:   MF = 0            Mm g = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:  MN = R N sen 180º = 0

 

 Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

 

Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:

 

M = I α → R F_r = I α

 

Relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R

 

 Combinado las expresiones anteriores se obtiene un sistema de tres ecuaciones:  

 

 

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje: I = (1/2) m R2   Sustituyendo en las expresiones anteriores:

 

Otra forma de enfocar el problema es el siguiente, como nos piden una aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero hay que hallar la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

 

Ahora hemos de calcular el momento del torque. 

La única fuerza útil es F, por tanto el cilindro se moverá hacia la derecha y girará en el sentido de las agujas del reloj.

 

La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a F.

 

Rotación alrededor del c.d.m: Momento del torque:   El peso del cilindro y la fuerza F están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:   MF = 0            Mm g = 0

 

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

 

 Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

 

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

 

 

Ahora se debe hallar el valor de la fuerza de rozamiento.

 

Traslación del c.d.m:     A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

 

 

 

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje: I = (1/2) m R2   Sustituyendo en las expresiones anteriores:

 

Como se puede observar, se ha obtenido el mismo resultado.

 

 b)      La fuerza de rozamiento para que el cilindro ruede sin deslizar vale: F_r = F/3. Por tanto, al aumentar la fuerza aplicada tendrá que aumentar la fuerza de rozamiento, pero la fuerza de rozamiento tiene un límite: F_r,máx = μ N = μ m g, luego la máxima fuerza F es aquella a la que corresponde la fuerza de rozamiento máxima, es decir:

 

F_máx = 3 F_r,máx = 3 μ m g

 

Si la fuerza aplicada supera este valor, el cilindro se trasladará y girará pero no acompasadamente, es decir el punto de contacto con el suelo no estará en reposo.