Archivo de abril de 2010

Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 01

 
Se hace subir, rodando sin deslizar, un cilindro homogéneo de masa m y radio r por un plano inclinado de ángulo φ tirando de su eje con una fuerza igual al peso y paralela al plano. Plantea las correspondientes ecuaciones de la dinámica.
 
Solución:
 
Datos: m, r, φ, F = m g

 
Para que el cuerpo suba rodando y no resbale, debe existir un momento respecto al eje del cilindro creado por una fuerza.
Fuerzas que actúan sobre el cilindro y descomposición de las mismas:
 
 
 
Traslación del c.d.m:
 
 
Como F = m g, se sustituye obteniéndose:
 
 
La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a F.
 
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.
 
Rotación alrededor del c.d.m:

 
La única fuerza útil es F, por tanto la esfera subirá por la rampa girando en el sentido de las agujas del reloj.
 
Momento del torque:
 
 
Las fuerzas m g sen φ, m g cos φ y F están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
 
Mm g sen φ = 0      Mm g cos φ= 0      MF = 0
 
Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:
 
 
 
 
De todo lo anterior se obtienen el siguiente sistema:

 
 
 

Como el cilindro rueda sin resbalar: a = α r, luego:
 
 
Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje: I = (1/2) m R2
 
Sustituyendo en la última expresión y simplificando, se tiene:
 
 
Dimensionalmente:
 
 
 

Rodadura del sólido rígido. Cilindro 03

 

Mediante la fuerza F se hace rodar sin deslizar un rodillo por una superficie horizontal. Determina su aceleración de traslación.
 
Datos: m = 1 kg; R = 5cm; r = 3 cm; F = 10 N
 
Considera el rodillo como un cilindro homogéneo

Solución:

Datos: m = 1 kg; R = 5cm; r = 3 cm; F = 10 N
 
La única fuerza útil es F, por tanto el rodillo se moverá hacia la izquierda y girará en el sentido contrario de las agujas del reloj.
 
La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a F.
 
 
Traslación del c.d.m:
 
N = m g            F – Fr = m a
 
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

 

 
Rotación alrededor del c.d.m:
 
Momento del torque:
 
 
El peso del rodillo está aplicado en el eje, luego su momento es nulo, es decir: Mm g = 0

   

 
El peso del rodillo está aplicado en el eje, luego su momento es nulo, es decir: Mm g = 0
 
Momentos de la fuerza, de la normal y de la fuerza de rozamiento
 
 

Como la aceleración angular tiene sentido contrario al de las agujas del reloj:

Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:
 
M = I α → R Fr – r F = I α
 
Relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R
 
Combinado las expresiones anteriores se obtiene un sistema de tres ecuaciones:

 

 
Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:
 
I = (1/2) m R2
 
Sustituyendo en la expresión anterior:
 


 

Teorema de conservación de la energía. Plano vertical 04

 
Un collarín de 6 kg de masa que puede deslizarse, sin rozamiento, por una varilla vertical, descansa, en equilibrio, sobre un muelle. El collarín es empujado hacia abajo comprimiendo el muelle 6 cm y entonces se suelta. Si la constante del muelle es de 15 kp/cm, determina:
 
a)      Altura máxima que alcanza el collarín, sobre su posición de equilibrio.
 
b)      La velocidad máxima del collarín.
 
Solución:
 
Datos: m = 6 kg; d = 6 cm; k = 15 kp/cm
 
 
 
a)      El trabajo realizado al empujar el collarín, ha quedado almacenado en el muelle en forma de energía potencial elástica, la cual se transformará totalmente en energía potencial adquirida por el collarín, cuando éste alcance su máxima altura, por tanto:
 
 
Esta altura es la que hay desde el punto de salida (donde el muelle está comprimido), hasta donde el collarín deja de subir. Pero el problema pide la altura medida desde el punto de equilibrio, es decir 6 cm por encima del punto de salida, luego:
 
H = 45 cm – 6 cm = 39 cm
 
b)      El collarín alcanzará su velocidad máxima cuando toda su energía sea cinética y como ésta de ser igual a la energía potencial en su punto más alto, ya que se tiene que cumplir el principio de conservación de la energía, se tiene que:
 

 

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