Archivo de marzo de 2010

Rodadura del sólido rígido. Poleas 03

 
Calcula la velocidad angular de la doble polea, la lineal de los bloques y las tensiones de la cuerda.
 
 

Datos: m1 = 4 kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm. Momento de inercia de la doble polea: I = 2 kg · m2.

 Solución:
 

 
Datos:
 
m1 = 4 kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm; I = 2 kg · m2
 
Sentido de giro:
 
Sistema en reposo:
 
T1 = m1 g                     T2 = m2 g

 

Momento del torque sobre la polea:
 
 
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

 


Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que, según los datos del problema, R2 m2 > R1 m1.
 
   Sistema en movimiento:
 
   Rotación de la polea:
 
 
 El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

 

  

POLEAS 03

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto: 

 

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:
 
R2 T2 – R1 T1 = I α
 
 
Traslación de los bloques:
 
Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.
 
T1 – m 1 g = m1 a1
 

–T2 + m2 g = m2 a2

 Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.           

 
Relación entre las magnitudes angulares y lineales:
 
Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:
 
d = φ r (Definición de radián)
 
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:
 
            

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.
 
Relación entre traslación y rotación:
 
a1 = α R1        a2 = α R2

Por tanto tenemos el siguiente sistema:
 
 
Ahora se puede resolver por Cramer:
 
 
 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 02

 

Calcula la aceleración angular de la polea (masa homogénea), la lineal del bloque y la tensión de la cuerda.

 

 

Solución:

 
Datos: v0 = 0; ω0 = 0
 
 
Sentido de giro:
 
Sistema en reposo:
 
T = m g

 

 
Momento del torque sobre la polea:
 
M = MT + MN + MM g
 
 
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, por tanto:
 
M = R m g + 0 + 0 = R m g
 
Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, cosa que es evidente ya que no hay otra posibilidad.
 
En cuanto la polea empiece a girar, cambiará la tensión en el extremo de la cuerda y ya no será igual al peso del bloque.
 
 
 
Rotación de la polea:
 
Momento del torque:
 
M = MT + MN + MM g
 
Como ya se ha dicho anteriormente, el peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

 
Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.
 
Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:
 
R T = I α
 
 
Traslación del bloque:
 
m g – T = m a
 
Combinando las dos últimas expresiones anteriores resulta el siguiente sistema:

 

 
Ahora se debe poner la aceleración de traslación a en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.
 
 
Relación entre las magnitudes angulares y lineales:
 
Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:
 
d = φ r (Definición de radián)
 
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

                                       

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

 

Aplicando al sistema obtenido anteriormente:

 

 
Despejando T en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:  
 
 
 
Momento de inercia de una polea homogénea, respecto a un eje perpendicular a su centro:
 
 
 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 01

 

 

Sea el sistema de la figura en donde m1 > m2 y la masa de la polea es homogénea. El cuerpo m2 descansa en el suelo y m1 se encuentra a una altura h del suelo cuando se suelta. Suponiendo que el eje de la polea no tiene fricción, la cuerda es de masa despreciable, no se estira y no desliza sobre la polea, calcula el tiempo que m1 tarda en llegar al suelo. Cuál sería el resultado si la polea no tuviera masa.

 

 

 Solución:

Datos: m1; m2, R; M3, h
 
 

 

 
De Cinemática tenemos:
 
Ecuaciones del movimiento:
 
v = v0 + a t                   h = v0 t + (1/2) a t2
 
Como inicialmente el sistema está parado v0 = 0, por tanto:
 
v = a t             h = (1/2) a t2
 

Para poder resolver este problema utilizaremos la segunda ecuación, ya que conocemos el espacio que debe recorrer m1 hasta llegar al suelo (h), siendo t el tiempo que tarda en realizar el recorrido.

Despejando t de la segunda ecuación:
 
 
Para hallar el tiempo necesitamos averiguar el valor de la aceleración (a) con la que baja m1.
 
Fuerzas que intervienen en el sistema en el instante inicial y descomposición de las mismas:
 
 
Movimiento de rotación:
 
Sentido de giro:
 
Como m1 es mayor que m2 y, además, ésta se apoya en el suelo, el sistema únicamente podrá girar en sentido de las agujas del reloj.

  

 
Momento del torque:
 
 
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, luego:
 
M = R T1 + 0 + 0 – R T2 = R (T1 – T2)
 

 Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que m1 > m2 (como ya se dijo anteriormente)

En cuanto la polea comience a girar cambiarán las tensiones en los extremos de la cuerda y ya no serán iguales al peso del bloque correspondiente.
 
Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:
 
M = I α → R T1 – R T2 = I α
 
Ahora nos falta expresar la aceleración de traslación (a), en función de la aceleración angular (α) y el momento de inercia de la polea.
 
Relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R
 
(Las magnitudes de traslación de los bloques se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda)
 
Momento de inercia de una polea cuya masa es homogénea, respecto a un eje perpendicular a su centro:
 
I = (1/2) M3 R2
 

Movimiento de traslación de los bloques:

Traslación de los bloques:
 
P1 – T1 = m1 a → m1 g – T1 = m1 a
 
T2 – P2 = m2 a → T2 – m2 g = m2 a  
 
De todo lo anterior, resulta el siguiente sistema:
 
 
 
Despejando T1 y T2 en las dos última ecuaciones:
 
T1 = m1 g – m1 a                      T2 = m2 g + m2 a  
 
Sustituyendo en la primera ecuación:
 
R m1 (g – a) – R m2 (g + a) = (1/2) M3 R a
 
R m1 g – R m1 a – R m2 g – R m2 a = (1/2) M3 R a
 
   R m1 g– R m2 g = (1/2) M3 R a + R m1 a + R m2 a
 
 
Sustituyendo en la ecuación del tiempo:
 

 

 
Se puede observar que si la masa de la polea es cero, las tensiones en los extremos de la cuerda, durante el movimiento son iguales (R T1 – R T2 = 0 → T1 = T 2)
 
En este caso el tiempo que tarda m1 al suelo es:
 
 
 
 
 
 
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