El Sapo Sabio

Archivo de marzo de 2010

 Solución:
 

Datos: m1 = 4 kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm; I = 2 kg · m2 Sentido de giro: Sistema en reposo: T1 = m1 g                     T2 = m2 g

Momento del torque sobre la polea:     El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

Sistema en movimiento:      Rotación de la polea:  El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

  

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto: 

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

 

R₂ T₂ – R₁ T₁ = I α

 

Traslación de los bloques:   Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.   T1 – m 1 g = m1 a1   –T2 + m2 g = m2 a2

 Ahora se debe poner las aceleraciones a₁ y a₂ en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.           

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:   Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:   d = φ r (Definición de radián)   Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

 

Relación entre traslación y rotación:

a₁ = α R₁        a₂ = α R₂

Por tanto tenemos el siguiente sistema:

 

Ahora se puede resolver por Cramer:

Calcula la aceleración angular de la polea (masa homogénea), la lineal del bloque y la tensión de la cuerda.

Solución:

Sentido de giro:   Sistema en reposo:   T = m g

Momento del torque sobre la polea:   M = MT + MN + MM g     El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, por tanto:   M = R m g + 0 + 0 = R m g

Rotación de la polea:   Momento del torque:   M = MT + MN + MM g   Como ya se ha dicho anteriormente, el peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

Traslación del bloque:   m g – T = m a   Combinando las dos últimas expresiones anteriores resulta el siguiente sistema:

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:   Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:   d = φ r (Definición de radián)   Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

Aplicando al sistema obtenido anteriormente:

Momento de inercia de una polea homogénea, respecto a un eje perpendicular a su centro:

 

 

 

Sea el sistema de la figura en donde m1 > m2 y la masa de la polea es homogénea. El cuerpo m2 descansa en el suelo y m1 se encuentra a una altura h del suelo cuando se suelta. Suponiendo que el eje de la polea no tiene fricción, la cuerda es de masa despreciable, no se estira y no desliza sobre la polea, calcula el tiempo que m1 tarda en llegar al suelo.   Cuál sería el resultado si la polea no tuviera masa.

Solución:

 

De Cinemática tenemos:   Ecuaciones del movimiento:   v = v0 + a t                   h = v0 t + (1/2) a t2   Como inicialmente el sistema está parado v0 = 0, por tanto:   v = a t             h = (1/2) a t2

Para poder resolver este problema utilizaremos la segunda ecuación, ya que conocemos el espacio que debe recorrer m₁ hasta llegar al suelo (h), siendo t el tiempo que tarda en realizar el recorrido.

Movimiento de rotación:   Sentido de giro:   Como m1 es mayor que m2 y, además, ésta se apoya en el suelo, el sistema únicamente podrá girar en sentido de las agujas del reloj.

Momento del torque:     El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, luego:   M = R T1 + 0 + 0 – R T2 = R (T1 – T2)

 Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que m₁ > m₂ (como ya se dijo anteriormente)

Relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R

 

(Las magnitudes de traslación de los bloques se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda)

 

Momento de inercia de una polea cuya masa es homogénea, respecto a un eje perpendicular a su centro:

 

I = (1/2) M₃ R²

 

Movimiento de traslación de los bloques:

Traslación de los bloques:   P1 – T1 = m1 a → m1 g – T1 = m1 a   T2 – P2 = m2 a → T2 – m2 g = m2 a     De todo lo anterior, resulta el siguiente sistema:

 

T₁ = m₁ g – m₁ a                      T₂ = m₂ g + m₂ a  

 

Sustituyendo en la primera ecuación:

 

R m₁ (g – a) – R m₂ (g + a) = (1/2) M₃ R a

 

R m₁ g – R m₁ a – R m₂ g – R m₂ a = (1/2) M₃ R a

 

   R m₁ g– R m₂ g = (1/2) M₃ R a + R m₁ a + R m₂ a

 

 

Sustituyendo en la ecuación del tiempo:

 

Se puede observar que si la masa de la polea es cero, las tensiones en los extremos de la cuerda, durante el movimiento son iguales (R T₁ – R T₂ = 0 → T₁ = T ₂)

 

En este caso el tiempo que tarda m₁ al suelo es: