Archivo de febrero de 2010

Teorema de conservación del momento cinético o angular 01

 
Un payaso de circo gira sobre un taburete dando una vuelta por segundo. Tiene los brazos estirados de forma que las manos quedan a 75 cm del eje de giro y en cada una sostiene una bola de 4 kg. Si el momento de inercia de su cuerpo es 1 kg·m2,¿qué velocidad de giro adquirirá al pegar los brazos al cuerpo?
 
Solución:
 
Datos: ω0 = 1 (v/s); d = 75 cm; m = 4 kg; I0 = 1 kg·m2

Conservación del momento angular:
 
L0 = L1
 
Momento angular inicial:
 
 
 
Momento angular final:

L1 = I0 ω 

 

Sustituyendo en la ecuación de la conservación del momento angular:
 
I ω0 = I0 ω → ω = I ω0 / I0
 
El payaso continuará girando en sentido contrario al de las agujas del reloj.
 
Teniendo en cuenta que los momentos de inercia respecto al mismo eje son aditivos resulta que:
 
I = I0 + I1 + I2
 
Siendo I0, I1 e I2 los momentos de inercia del payaso y las masa respectivamente.
 
Sustituyendo en la ecuación de la velocidad angular, tenemos que:
 
 
 
 
 

Momento cinético o angular 03

 

Halla el momento angular de un LP de 180 gramos de masa y 30,5 cm de diámetro que gira a 33 y 1/3 rpm alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro.

 
Solución:

Datos: m = 180 g; r = (30,5/2) cm = 15,25 cm; ω = 33 y 1/3 rpm

 

 
Momento cinético o angular de una masa puntual:
 
 
Módulo del vector L:
 
L = r P sen φ = r m v sen φ
 
como φ = 90º, tenemos que:
 
L = r m v

 

   

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:
Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:
 
d = φ r (Definición de radián)
 
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:
 

 

 

Es decir: Las magnitudes de traslación se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación por el radio de la circunferencia.
 
Sustituyendo v en la ecuación del módulo de L, se obtiene:
 
L = r m ω r = r2 m ω
 
Momento de inercia de una masa puntual:
 
I = r2 m
 
Sustituyendo en la anterior ecuación:
 
L = I ω
 
Para hallar el momento angular del LP respecto a su eje de rotación utilizaremos la anterior expresión, para lo cual debemos tener en cuenta el momento de inercia de un disco es:
I = (1/2) m r2
 
Sustituyendo en la ecuación del momento cinético:
 
L = (1/2) m r2 ω
 
 
 
 

Momento cinético o angular 02

 
Una varilla, de masa despreciable y longitud 1 metro, tiene una masa de 0,5 kg en cada uno de sus extremos y está girando alrededor de un eje que pasa por su punto medio con velocidad angular de cuatro vueltas por segundo. Halla el momento angular del sistema.
 
Solución:
 
Datos: m1 = m2 = 0,5 kg; d = r1 + r2 = 1 m; ω = 4 v/s
 
 
Momento de angular del sistema:

L = I ω

Momento de inercia del sistema:

I = I1 + I2

Los momentos de inercia respecto al mismo eje son aditivos.

 

Momento de inercia de la primera masa

  

 

I1 = m1 r12
 
Momento de inercia de la segunda masa:
 
I2 = m2 r22
 
Haciendo las sustituciones oportunas el momento angular del sistema es:
 
L = (I1 + I2) ω = (m1 r12 + m2 r22) ω
 
 
 
Teniendo en cuenta la orientación de los ejes de coordenadas:
 
 
 
 
 
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