Se deja caer una caja de 8 kg de masa por un plano inclinado desde una altura inicial de 10 m. La caja está sometida a una fuerza de rozamiento de 7 N y recorre una distancia de 20 m hasta llegar a la base del plano. Calcula la velocidad final de la caja.
Solución:
Datos: v0 = 0; m = 8 kg; h = 10 m; Fr = 7 N; x = 20 m
Por el principio de conservación de la energía:
Nota. –Si en Ep (B) = m g h, tenemos en cuenta que h = x sen α y hacemos la sustitución, tendremos que Ep (B) = m g sen α · x, que es el trabajo realizado por el peso.
Este problema también se puede hacer de la siguiente manera:
Por el principio de conservación de la energía:
Cálculo del trabajo:
El trabajo realizado por el peso (Wp) no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.
WN = N x cos 90º = 0
La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:
Wr = Fr x cos 180º = –Fr x
Variación de la energía cinética:
ΔEc = Ec (A) – Ec (B) = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2
Variación de la energía potencial:
ΔEp = Ep (A) – Ep (B) = 0 – m g h = –m g h
De todo lo anterior se obtiene:
–Fr x = (1/2) m v2 – m g h → (1/2) m v2 = m g h – Fr x
m v2 = 2 (m g h – Fr x) → v2 = 2 (m g h – Fr x) / m
Con lo que se llega a la misma expresión que en la forma anterior.
Otra manera más simple de realizar este problema, es mediante el siguiente razonamiento:
Inicialmente, la única energía que posee la caja es potencial, ya que está a cierta altura pero parada y finalmente sólo tiene energía cinética, ya que no se encuentra a altura alguna con relación a la base del plano inclinado. La diferencia entre ambas energía se debe al trabajo disipado en el rozamiento, por tanto:
Ec (A) – Ep (B) = Wr
(1/2) m v2 – m g h = Fr x cos 180º
(1/2) m v2 – m g h = –Fr x → v2 = 2 (m g h – Fr x) / m
También podemos realizar el problema aplicando, primero dinámica y después cinemática, aunque, en este caso, no estaremos dentro del tema de conservación de energía.
Primero utilizaremos dinámica, para hallar la aceleración con la que baja la caja:
Fuerzas que actúan sobre la caja y descomposición de las mismas:
Fuerzas tangenciales:
P sen α – Fr = m a → a = (m g sen α – Fr) / m = [m g (h / x) – Fr] / m
a = [8 kg · 9,8 (m/s2) · (10 m / 20 m) – 7 N] / 8 kg = 4,025 m /s2
Ahora utilizaremos cinemática, para hallar la velocidad con la que llega la caja a la base del plano inclinado:
v = v0 + a tx = v0 t + (1/2) a t2
Para poder hallar v, necesitamos conocer el tiempo que tarda la caja en bajar, ya que la velocidad inicial es cero. Para ello utilizaremos la segunda expresión:
20 m = (1/2) · 4,025 (m/s2) t2 →t = 3,15 s
v = 4,025 (m/s2) · 3,15 s = 12,7 m/s
Se puede ver, que se ha obtenido el mismo resultado que en los casos anteriores y que no ha hecho falta averiguar el ángulo α.
29 de junio de 2009 | 
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