Archivo de junio de 2009

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 02

TEPMTTCPI202

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 01

 

Se deja caer una caja de 8 kg de masa por un plano inclinado desde una altura inicial de 10 m. La caja está sometida a una fuerza de rozamiento de 7 N y recorre una distancia de 20 m hasta llegar a la base del plano. Calcula la velocidad final de la caja.

 
Solución:
 
Datos: v0 = 0; m = 8 kg; h = 10 m; Fr = 7 N; x = 20 m
 
 

Por el principio de conservación de la energía:

 

 

Nota. –  Si en Ep (B) = m g h, tenemos en cuenta que h = x sen α y hacemos la sustitución, tendremos que Ep (B) = m g sen α · x, que es el trabajo realizado por el peso.

 
Este problema también se puede hacer de la siguiente manera:
 
Por el principio de conservación de la energía:
 
 
Cálculo del trabajo:
 
 

El trabajo realizado por el peso (Wp) no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.

WN = N x cos 90º = 0
 
La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.
 
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:
 
Wr = Fr x cos 180º = Fr x
 
Variación de la energía cinética:
 
ΔEc = Ec (A) – Ec (B) = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2
 
Variación de la energía potencial:
 
ΔEp = Ep (A) – Ep (B) = 0 – m g h = –m g h
 
De todo lo anterior se obtiene:
 
–Fr x = (1/2) m v2 – m g h → (1/2) m v2 = m g h – Fr x
 
m v2 = 2 (m g h – Fr x) → v2 = 2 (m g h – Fr x) / m  
 
 
Con lo que se llega a la misma expresión que en la forma anterior.
 
Otra manera más simple de realizar este problema, es mediante el siguiente razonamiento:
 
Inicialmente, la única energía que posee la caja es potencial, ya que está a cierta altura pero parada y finalmente sólo tiene energía cinética, ya que no se encuentra a altura alguna con relación a la base del plano inclinado. La diferencia entre ambas energía se debe al trabajo disipado en el rozamiento, por tanto: 
 
 

Ec (A) – Ep (B) = Wr
 
(1/2) m v2 – m g h = Fr x cos 180º
 
(1/2) m v2 – m g h = –Fr x → v2 = 2 (m g h – Fr x) / m   
 
 
 
 
También podemos realizar el problema aplicando, primero  dinámica y después cinemática, aunque, en este caso, no estaremos dentro del tema de conservación de energía.
 
Primero utilizaremos dinámica, para hallar la aceleración con la que baja la caja:
 
Fuerzas que actúan sobre la caja y descomposición de las mismas:
 
 

Fuerzas tangenciales:

 

P sen α – Fr = m a → a = (m g sen α – Fr) / m = [m g (h / x) – Fr] / m

 

a = [8 kg · 9,8 (m/s2) · (10 m / 20 m) – 7 N] / 8 kg = 4,025 m /s2  

 

Ahora utilizaremos cinemática, para hallar la velocidad con la que llega la caja a la base del plano inclinado:

 

v = v0 + a t                  x = v0 t + (1/2) a t2

 

Para poder hallar v, necesitamos conocer el tiempo que tarda la caja en bajar, ya que la velocidad inicial es cero. Para ello utilizaremos la segunda expresión:

 

20 m = (1/2) · 4,025 (m/s2) t2 →t = 3,15 s

 

v = 4,025 (m/s2) · 3,15 s = 12,7 m/s

 

Se puede ver, que se ha obtenido el mismo resultado que en los casos anteriores y que no ha hecho falta averiguar el ángulo α.

 
 
 
  

Teorema de conservación de la energía. Plano vertical 03

TEPMTTCPV401

 

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