Archivo de febrero de 2009

Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 01

 

Ahora realizaremos unos problemas pertenecientes al movimiento armónico simple (M.A.S)

Cierta partícula se mueve con M.A.S según la siguiente ecuación x = 3 sen (2t + 4), (x en cm, t en segundos).

Calcula:

a)      La amplitud.
 
b)      La fase inicial.
 
c)      El período.
 
d)      La frecuencia.
 
e)      La pulsación
 
f)        La ecuación de la velocidad.
 
g)      La expresión de la aceleración.
 
Solución:
 
Dato: x = 3 sen (2t + 4)
 
Ecuación del movimiento:
 
  
 
Si comparamos ambas ecuaciones tenemos:
 
a)      Amplitud: 3 cm.
 
b)      Fase inicial: 4 radianes.
 
c)      Período:
 
 
d)      Frecuencia:
 
e)      Pulsación:
 
f)        Ecuación de la velocidad:
 
 
g)      Expresión de la aceleración:
 

 

Móviles al encuentro y en persecución 02

 

 Dos móviles recorren una circunferencia en el mismo sentido, con aceleraciones respectivas   1 y 1,5 rad/s y partiendo de puntos diametralmente opuestos. Calcula cuándo, dónde y el número de vueltas que habrá dado cada móvil cuando se encuentren.

 

 

Solución:

Datos: α1 = 1 rad/s2; α2 = 1,5 rad/s2; φ2,0 = π rad; φ1,0 = 0

 

 

Ecuaciones de los movimientos, según la figura anterior:

Móvil A:

 

 

Móvil B:

 

 

 

En el punto de encuentro se cumplirá, según se puede ver en la figura anterior:

φ2 φ1 = 2 π k

(El número de vueltas que se han podido dar antes del encuentro viene dado por la constante k)

Sustituyendo en esta última expresión:

 

 

Como en este problema α1 < α2, el denominador de la fracción es positivo, por tanto para que el tiempo tenga soluciones reales el numerador también debe ser positivo, es decir:

 

 

Para que el tiempo sea real, k ha de ser mayor o igual que 1.

Ahora sustituiremos el valor del tiempo en cada una de las ecuaciones del espacio para averiguar el punto de encuentro y las vueltas que ha dado cada móvil.

 

 

Si k = 1:

 

 

O también:

 

 

O también:

 

 

Si se desea saber los sucesivos encuentros:

Si k = 2:

 

 

Si k = 3:

 

 

Y así sucesivamente.

 

 

 

 

Móviles al encuentro y en persecución 01

Dos móviles parten del mismo punto de una circunferencia y tienen la misma velocidad inicial 2 rad/s, aunque salen en sentidos opuestos. Uno de los movimientos es acelerado y el otro retardado, teniendo el mismo módulo ambas aceleraciones. Calcula el valor de la aceleración, sabiendo que el móvil dotado de movimiento retardado, tiene velocidad nula en el instante del encuentro.

Solución:

Ecuaciones de los movimientos:

Móvil A:

Móvil B:

 En el punto de encuentro:

Sustituyendo las expresiones de los espacios de A y de B:
 

 

Como conocemos el valor de la velocidad final del móvil B, sustituimos el valor de t en la ecuación de B:
 
 
El valor de la aceleración es 0,64 rad/s2.
 

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