Archivo de la categoría ‘MCU’
Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 15
A un punto que está girando con velocidad 2 rad/s, se le aplica una aceleración de 0,5 rad/s2. Calcula:
a) Posición al cabo de 20 s.
b) Velocidad cuando pase por la posición inicial por tercera vez.
c) Cuándo estará en la posición diametralmente opuesta a la de partida.
Solución:
Datos: ω0 = 2 rad/s; α = 0,5 rad/s2
Ecuaciones del movimiento:
ω = ω0 + α t φ = ω0 t + (1/2) α t2
a) Dato = 20 s
φ = (2 rad/s)·20 s + (1/2)·(0,5 rad/s2)·(20 s)2
φ = 40 rad + 100 rad = 140 rad
φ = 140 rad·(180º/π rad) = 8021º = 22,28 vueltas
φ = 22 vueltas + 101º
El punto se encuentra en la posición 101º, después de haber pasado 22 veces por el origen.
b) El tercer paso por la posición inicial ocurre en la vuelta k = 3, es decir:
φ = (0 + 2·3π) rad = 6π rad
ω = ω0 + α t → t = (ω – ω0)/α
φ = ω0 [(ω – ω0)/α] + (1/2) α [(ω – ω0)/α]2
φ = [(ω – ω0)/α]·[ω0 + (ω – ω0)/2]
φ = [(ω – ω0)/α]·[(2ω0 + ω – ω0)/2]
φ = [(ω – ω0)/α]·[(ω0 + ω)/2]
φ = (ω – ω0)·(ω0 + ω)/2α
φ = (ω2 – ω02)/2α
2 φ α = ω2 – ω02
ω2 = ω02 + 2 φ α
c) Dato = (π + 2 k π) rad
φ = ω0 t + (1/2) α t2 → (1/2) α t2 + ω0 t – φ = 0
La raíz negativa no sirve porque daría un tiempo negativo, luego:
Para que el tiempo tenga una solución real positiva se ha de cumplir que:
t = (1,34; 3,33; 4,88;….) s
Móviles al encuentro y en persecución 03
Un móvil comienza a recorrer la circunferencia, partiendo del punto A, con velocidad (π/2) rad/s en sentido contrario al de las agujas del reloj, simultáneamente otro móvil comienza a recorrer la circunferencia, partiendo del punto B, con velocidad (3π/2) rad/s en sentido contrario. Determina cuándo y dónde se encontrarán.
Solución:
Datos: ωA = (π/2) rad/s; ωB = (3π/2) rad/s
Ecuación del movimiento de A:
φA = ωA t
Ecuación del movimiento de B:
φB = φB,0 – ωB t
En el punto de encuentro se debe cumplir que:
φA = φB
ωA t = φB,0 – ωB t → ωA t + ωB t = φB,0 → (ωA + ωB) t = φB,0
t = φB,0/(ωA + ωB)
Tiempo que tardarán en encontrarse:
Lugar de encuentro:
φA = φB = ωA t = (π/2)·(rad/s)·(3/4)·s = (3π/8) rad
Espacio, velocidad y tiempo 47
Un satélite de comunicaciones gira alrededor de la Tierra, con un período de 24 horas a una altura de 35832 km. Calcula su velocidad angular, lineal y aceleración. Radio de la Tierra 6368 km.
Solución:
Datos: T = 24 h; h = 35832 km; R = 6368 km
Relación entre las magnitudes angulares y lineales:
Un móvil que gira un ángulo φ también recorre una distancia L. La relación entre estas dos magnitudes es: L = φ (definición de radián)
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:
v = dL/dt = (dφ/dt) R = ω R
at = dv/dt = (dω/dt) R = α R
Velocidad angular:
ω = 2π/T = 2π rad/[24 h·(3600 s/h)] = 7,27·10–5 rad/s
Velocidad lineal:
v = ω r = ω (R + h)
v = 7,27·10–5 rad/s·(6380 + 35832) km = 3,07 km/s
Aceleración tangencial:
Si la velocidad angular es constante no habrá aceleración angular y por tanto no habrá aceleración tangencial, luego: at = 0
Aceleración normal:
Un cuerpo que gira tiene aceleración normal, porque continuamente está cambiando la dirección de su velocidad lineal.
an = v2/r = (ω r)2/r = ω2 r = ω2 (R + h)
an = (7,27·10–5 rad/s)2·(6380 + 35832)·103 m = 0,223 m/s2
La aceleración total es la aceleración normal.