El Sapo Sabio

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A un punto que está girando con velocidad 2 rad/s, se le aplica una aceleración de 0,5 rad/s². Calcula:

a)  Posición al cabo de 20 s.

b)  Velocidad cuando pase por la posición inicial por tercera vez.

c)  Cuándo estará en la posición diametralmente opuesta a la de partida.

 

 

Solución:

Datos: ω₀ = 2 rad/s; α = 0,5 rad/s²

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ + α t           φ = ω₀ t + (1/2) α t²

a)  Dato = 20 s

φ = (2 rad/s)·20 s + (1/2)·(0,5 rad/s²)·(20 s)²

φ = 40 rad + 100 rad = 140 rad

φ = 140 rad·(180º/π rad) = 8021º = 22,28 vueltas

φ = 22 vueltas + 101º

El punto se encuentra en la posición 101º, después de haber pasado 22 veces por el origen.

b)  El tercer paso por la posición inicial ocurre en la vuelta k = 3, es decir:

φ = (0 + 2·3π) rad = 6π rad

ω = ω₀ + α t → t = (ω – ω₀)/α

φ = ω₀ [(ω – ω₀)/α] + (1/2) α [(ω – ω₀)/α]²

φ = [(ω – ω₀)/α]·[ω₀ + (ω – ω₀)/2]

φ = [(ω – ω₀)/α]·[(2ω₀ + ω – ω₀)/2]

φ = [(ω – ω₀)/α]·[(ω₀ + ω)/2]

φ = (ω – ω₀)·(ω₀ + ω)/2α

φ = (ω² – ω₀²)/2α

2 φ α = ω² – ω₀²

ω² = ω₀² + 2 φ α

c)  Dato = (π + 2 k π) rad

φ = ω₀ t + (1/2) α t² → (1/2) α t² + ω₀ t – φ = 0

La raíz negativa no sirve porque daría un tiempo negativo, luego:

Para que el tiempo tenga una solución real positiva se ha de cumplir que:

t = (1,34; 3,33; 4,88;….) s

 

 

 

Un móvil comienza a recorrer la circunferencia, partiendo del punto A, con velocidad (π/2) rad/s en sentido contrario al de las agujas del reloj, simultáneamente otro móvil comienza a recorrer la circunferencia, partiendo del punto B, con velocidad (3π/2) rad/s en sentido contrario. Determina cuándo y dónde se encontrarán.

 

 

Solución:

Datos: ω_A = (π/2) rad/s; ω_B = (3π/2) rad/s

Ecuación del movimiento de A:

φ_A = ω_A t

Ecuación del movimiento de B:

φ_B = φ_B,0 – ω_B t

En el punto de encuentro se debe cumplir que:

φ_A = φ_B

ω_A t = φ_B,0 – ω_B t → ω_A t + ω_B t = φ_B,0 → (ω_A + ω_B) t = φ_B,0

t = φ_B,0/(ω_A + ω_B)

Tiempo que tardarán en encontrarse:

Lugar de encuentro:

φ_A = φ_B = ω_A t = (π/2)·(rad/s)·(3/4)·s = (3π/8) rad

 

 

 

 

 

Un satélite de comunicaciones gira alrededor de la Tierra, con un período de 24 horas a una altura de 35832 km. Calcula su velocidad angular, lineal y aceleración. Radio de la Tierra 6368 km.

 

 

Solución:

Datos: T = 24 h; h = 35832 km; R = 6368 km

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

Un móvil que gira un ángulo φ también recorre una distancia L. La relación entre estas dos magnitudes es: L = φ (definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

v = dL/dt = (dφ/dt) R = ω R

a_t = dv/dt = (dω/dt) R = α R

Velocidad angular:

ω = 2π/T = 2π rad/[24 h·(3600 s/h)] = 7,27·10^–5 rad/s

Velocidad lineal:

v = ω r = ω (R + h)

v = 7,27·10^–5 rad/s·(6380 + 35832) km = 3,07 km/s

Aceleración tangencial:

Si la velocidad angular es constante no habrá aceleración angular y por tanto no habrá aceleración tangencial, luego: a_t = 0

Aceleración normal:

Un cuerpo que gira tiene aceleración normal, porque continuamente está cambiando la dirección de su velocidad lineal.

a_n = v²/r = (ω r)²/r = ω² r = ω² (R + h)

a_n = (7,27·10^–5 rad/s)²·(6380 + 35832)·10³ m = 0,223 m/s²

La aceleración total es la aceleración normal.