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Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 15

 

A un punto que está girando con velocidad 2 rad/s, se le aplica una aceleración de 0,5 rad/s2. Calcula:

a)  Posición al cabo de 20 s.

b)  Velocidad cuando pase por la posición inicial por tercera vez.

c)  Cuándo estará en la posición diametralmente opuesta a la de partida.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 2 rad/s; α = 0,5 rad/s2

MCUA ESPACIO 12

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 + α t           φ = ω0 t + (1/2) α t2

a)  Dato = 20 s

φ = (2 rad/s)·20 s + (1/2)·(0,5 rad/s2)·(20 s)2

φ = 40 rad + 100 rad = 140 rad

φ = 140 rad·(180º/π rad) = 8021º = 22,28 vueltas

φ = 22 vueltas + 101º

El punto se encuentra en la posición 101º, después de haber pasado 22 veces por el origen.

b)  El tercer paso por la posición inicial ocurre en la vuelta k = 3, es decir:

φ = (0 + 2·3π) rad = 6π rad

MCUA ESPACIO 15,1

ω = ω0 + α t → t = (ω – ω0)/α

φ = ω0 [(ω – ω0)/α] + (1/2) α [(ω – ω0)/α]2

φ = [(ω – ω0)/α]·[ω0 + (ω – ω0)/2]

φ = [(ω – ω0)/α]·[(2ω0 + ω – ω0)/2]

φ = [(ω – ω0)/α]·[(ω0 + ω)/2]

φ = (ω – ω0)·(ω0 + ω)/2α

φ = (ω2 – ω02)/2α

2 φ α = ω2 – ω02

ω2 = ω02 + 2 φ α

MCUA ESPACIO 15,2

c)  Dato = (π + 2 k π) rad

MCUA ESPACIO 15,3

φ = ω0 t + (1/2) α t2 → (1/2) α t2 + ω0 t – φ = 0

MCUA ESPACIO 15,4

La raíz negativa no sirve porque daría un tiempo negativo, luego:

MCUA ESPACIO 15,5

Para que el tiempo tenga una solución real positiva se ha de cumplir que:

MCUA ESPACIO 15,6

t = (1,34; 3,33; 4,88;….) s

 

 

Móviles al encuentro y en persecución 03

 

MCU MOVILES AL ENCUENTRO 03,1

Un móvil comienza a recorrer la circunferencia, partiendo del punto A, con velocidad (π/2) rad/s en sentido contrario al de las agujas del reloj, simultáneamente otro móvil comienza a recorrer la circunferencia, partiendo del punto B, con velocidad (3π/2) rad/s en sentido contrario. Determina cuándo y dónde se encontrarán.

 

 

Solución:

Datos: ωA = (π/2) rad/s; ωB = (3π/2) rad/s

MCU MOVILES AL ENCUENTRO 03,2

Ecuación del movimiento de A:

φA = ωA t

Ecuación del movimiento de B:

φB = φB,0 – ωB t

MCU MOVILES AL ENCUENTRO 03,3

En el punto de encuentro se debe cumplir que:

φA = φB

ωA t = φB,0 – ωB t ωA t + ωB t = φB,0 A + ωB) t = φB,0

t = φB,0/(ωA + ωB)

Tiempo que tardarán en encontrarse:

MCU MOVILES AL ENCUENTRO 03,4

Lugar de encuentro:

φA = φB = ωA t = (π/2)·(rad/s)·(3/4)·s = (3π/8) rad

 

 

 

 

Espacio, velocidad y tiempo 47

 

Un satélite de comunicaciones gira alrededor de la Tierra, con un período de 24 horas a una altura de 35832 km. Calcula su velocidad angular, lineal y aceleración. Radio de la Tierra 6368 km.

 

 

Solución:

Datos: T = 24 h; h = 35832 km; R = 6368 km

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

MCU ESPACIO 47,1

Un móvil que gira un ángulo φ también recorre una distancia L. La relación entre estas dos magnitudes es: L = φ (definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

v = dL/dt = (dφ/dt) R = ω R

at = dv/dt = (dω/dt) R = α R

Velocidad angular:

ω = 2π/T = 2π rad/[24 h·(3600 s/h)] = 7,27·10–5 rad/s

MCU ESPACIO 47,2

Velocidad lineal:

v = ω r = ω (R + h)

v = 7,27·10–5 rad/s·(6380 + 35832) km = 3,07 km/s

Aceleración tangencial:

Si la velocidad angular es constante no habrá aceleración angular y por tanto no habrá aceleración tangencial, luego: at = 0

Aceleración normal:

Un cuerpo que gira tiene aceleración normal, porque continuamente está cambiando la dirección de su velocidad lineal.

an = v2/r = (ω r)2/r = ω2 r = ω2 (R + h)

an = (7,27·10–5 rad/s)2·(6380 + 35832)·103 m = 0,223 m/s2

La aceleración total es la aceleración normal.

 

 

 

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