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Móviles al encuentro y en persecución 11

 

Un ascensor empieza a subir con aceleración 1 m/s2. Cuando ya lleva moviéndose un cierto tiempo se desprende la bombilla del techo. Siendo la altura de la cabina del ascensor 2 metros, determina el tiempo que tardará la bombilla en chocar con el suelo de la cabina.

 

 

Solución:

Datos: a = 1 m/s2; y’0 = 2 m; g = 9,8 m/s2

Este problema trata del choque de un grave (la bombilla), con una superficie que sube con aceleración (el suelo del ascensor). El problema empieza cuando se desprende la bombilla, en ese momento el ascensor ya ha adquirido una cierta velocidad (que será la misma para su suelo y para la bombilla), como consecuencia de la aceleración.

GRAVES MOVIMIENTO AL ENCUANTRO 11, 1

Ecuaciones de los movimientos:

Suelo del ascensor:

v = v0 + a t            y = v0 t + (1/2) a t2

Bombilla:

v' = v0 – g t            y’ = y’0 + v0 t – (1/2) g t2

Cuando ambos móviles se encuentren estarán a la misma distancia del origen de coordenadas, es decir:

y = y’

v0 t + (1/2) a t2 = y’0 + v0 t – (1/2) g t2

(1/2) a t2 = y’0 – (1/2) g t2

(1/2) a t2 + (1/2) g t2 = y’0

a t2 + g t2 = 2y’0

t2 (a + g) = 2y’0

t2 = 2y’0/(a + g)

GRAVES MOVIMIENTO AL ENCUANTRO 11, 2

 

 


Móviles al encuentro y en persecución 10

 

Desde el suelo se lanzan verticalmente hacia arriba dos piedras, con la misma velocidad 10 m/s, y separadas por un intervalo de tiempo de 0,5 segundos.

a)  Determina cuándo y dónde se encontrarán.

b)  Determina el retardo para que no se crucen en el aire.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 10 m/s; ∆t = 0,5 s ; g = 9,8 m/s2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 10, 1

Ecuaciones del movimiento de la piedra 1:

v = v0 – g t             y = v0 t – (1/2) g t2

Ecuaciones del movimiento de la piedra 2:

v' = v0 – g (t – ∆t)            y’ = v0 (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)2

a)  En el punto de encuentro se cumple que y = y’, por tanto:

v0 t – (1/2) g t2 = v0 (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)2

v0 t – (1/2) g t2 = v0 t – v0 ∆t – (1/2) g [t2 – 2t Δt + (Δt)2]

–(1/2) g t2 = –v0 ∆t – (1/2) g t2 + (1/2) g·2t Δt – (1/2) g (Δt)2

0 = –v0 ∆t + g t Δt – (1/2) g (Δt)2

g t Δt = v0 ∆t + (1/2) g (Δt)2

g t = v0 + (1/2) g Δt

Expresión del tiempo:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 10, 2

Expresión de la posición:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 10, 3

Tiempo que tardan en encontrarse:

t = [(10 m/s) + (1/2)·(9,8 m/s2)·0,5 s]/(9,8 m/s2) = 1,3 s

Posición donde se encuentran las piedras:

y = {(10 m/s)2 – [(1/2)·(9,8 m/s2)·0,5 s]2}/2·(9,8 m/s2) = 4,8 m

b)  En caso extremo, el encuentro entre las dos piedras se producirá cuando la primera llegue al suelo, en el momento en que se lanza la segunda. Entonces en el instante t, ambas piedras estarán en la misma posición, es decir: y = y’ = 0, luego:

0 = v0 (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)2

(t – ∆t)·[(1/2) g (t – ∆t) – v0] = 0

Primera solución:

t – ∆t = 0 → ∆t = t

Segunda solución:

(1/2) g (t – ∆t) – v0 = 0 → (1/2) g (t – ∆t) = v0

t – ∆t = 2v0/g → ∆t = t – (2v0/g)

Tiempo que tarda en llegar al suelo la piedra 1:

0 = v0 t – (1/2) g t2

t ·[(1/2) g t – v0] = 0

Primera solución:

t = 0

Segunda solución:

(1/2) g t – v0 = 0 → (1/2) g t = v0

t = 2v0/g

La primera solución corresponde al momento de la salida.

∆t = t = 2v0/g = 2·(10 m/s)/(9,8 m/s2) = 2,04 s

∆t = t – (2v0/g) = (2v0/g) – (2v0/g) = 0 (Este resultado no es válido)

También se puede hacer de la siguiente forma:

Del apartado anterior tenemos que:

t = [v0 + (1/2) g Δt]/g

Tiempo de la segunda piedra:

t' = t – ∆t = {[v0 + (1/2) g Δt]/g} – ∆t = (v0/g) + (1/2) Δt – ∆t

t' = (v0/g) – (1/2) Δt

En la ecuación de t’ se ve que al aumentar el retardo ∆t  disminuye t’ y que llegará un momento en que ésta será negativa, en cuyo caso no habrá encuentro. El caso límite corresponderá al valor de ∆t que hace a t’ igual a cero.

0 = (v0/g) – (1/2) Δt

(1/2) Δt = v0/g → Δt = 2v0/g

Δt = (2·10 m/s)/(9,8 m/s2) = 2,04 s

Conclusión: Si la segunda piedra se lanza más de 2,04 segundos después de haberse tirado la primera, no se encontrarán, porque ésta ya ha llegado al suelo.

 

 

 

Móviles al encuentro y en persecución 09

 

Desde el suelo se lanza una piedra hacia arriba a 20 m/s. Desde un punto situado 15 m por encima se deja caer otra con un cierto retardo.

a)  Determina cuándo y dónde se cruzarán siendo el retardo: 0,5 s o 1,5 s.

b)  ¿Cuál debería ser el retardo para que las piedras se encontraran a 10 m sobre el suelo?

 

 

Solución:

Datos: v0 = 20 m/s; y’0 = 15 m; g = 9,8 m/s2

a)    

GRAVES A, V, A, T 09

Ecuaciones de la piedra que se lanza hacia arriba:

v = v0 – g t             y = v0 t – (1/2) g t2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 2

Ecuaciones de la piedra que se deja caer:

Referidas al tiempo t’:

v' = –g t’                y’ = y’0 – (1/2) g t’2

Referidas al tiempo t:

v' = –g (t – ∆t)                 y’ = y’0 – (1/2) g (t – ∆t)2

Relación entre tiempos:

Cuando se mide el tiempo con un reloj lo que realmente se mide es el ángulo que gira una aguja a partir de una posición de partida arbitraria.

Comienza a moverse el primer móvil:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 2

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t = Δt.

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 3

Ahora comienza el movimiento del segundo.

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 4

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t (ángulo contado desde t = 0).

El segundo móvil lleva moviéndose un tiempo t’ (ángulo contado desde t’ = 0).

Evidentemente t = Δt + t’, por tanto: t’ = t – Δt

Es importante recordar que el móvil que sale más tarde circula menos tiempo.

En el instante t1 las posiciones de las piedras serán:

y1 = v0 t1 – (1/2) g t12

y’1 = y’0 – (1/2) g (t1 – Δt)2

Si se ha producido el encuentro las posiciones serán iguales:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 6

y1 = y’1

v0 t1 – (1/2) g t12 = y’0 – (1/2) g (t1 – Δt)2

v0 t1 – (1/2) g t12 = y’0 – (1/2) g [t12 – 2t1 Δt + (Δt)2]

v0 t1 – (1/2) g t12 = y’0 – (1/2) g t12 + (1/2) g·2t1 Δt – (1/2) g (Δt)2

v0 t1 = y’0 + g t1 Δt – (1/2) g (Δt)2

v0 t1 – g t1 Δt  = y’0 – (1/2) g (Δt)2

t1 (v0 – g Δt)  = y’0 – (1/2) g (Δt)2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 7

La posición de encuentro será:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 8

Si Δt = 0,5 s:

t1 = [15 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(0,5 s)2]/[(20 m/s) – (9,8 m/s2)·0,5 s] = 0,91 s

t’ = 0,91 s – 0,5 s = 0,41 s

y’1 = 15 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(0,91 s – 0,5 s)2 = 14,2 m

Si Δt = 1,5 s:

t1 = [15 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(1,5 s)2]/[(20 m/s) – (9,8 m/s2)·1,5 s] = 0,75 s

t’ = 0,75 s – 1,5 s = –0,75 s

En este caso las piedras no se cruzan en el aire, pues para que lo hicieran el tiempo de la que se deja caer ha de ser negativo, es decir, que las piedras chocarían dejando caer la segunda antes de lanzar la primera.

b)  En este caso, en el instante del cruce, t2, ambas piedras estarán en la misma posición: y2 = y’2 = 10 m.

Según el apartado anterior:

y2 = v0 t2 – (1/2) g t22

y’2 = y’0 – (1/2) g (t2 – Δt)2

De la primera expresión:

(1/2) g t22 – v0 t2 + y2 = 0

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 9

De la segunda expresión:

(1/2) g (t2 – Δt)2 = y’0 – y’2

(t2 – Δt)2 = 2(y’0 – y’2)/g

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 10

La anterior expresión representa el valor del tiempo t’ cuando se produce el encuentro. Como este tiempo tiene que ser positivo, se toma la raíz positiva.

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 11

Primera solución:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 12

Esta solución no es válida, pues significa que las piedras chocarían dejando caer la segunda antes de lanzar la primera.

Segunda solución:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 13

Dejando caer la segunda piedra con un retardo de 2,4 s, chocaría con la primera 3,5 s después de lanzarla.

Dimensionalmente:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 14

 

 

 


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