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Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Gráficas 11
Un coche parte del reposo y se mueve por un tramo recto de carretera alcanzando en 10 s una velocidad de 90 km/h que mantiene constante durante el resto del viaje. Se pide:
a) Representa las gráficas x–t, v–t y a–t, en los primeros cuarenta segundos. Explica el tipo de movimiento.
b) Calcula la distancia recorrida en 40 segundos.
c) Indica qué tipo de aceleración tangencial o normal tiene el coche.
Solución:
Datos: v0 = 0; t = 10 s; v = 25 m/s
Ecuaciones del movimiento:
v = a t x = (1/2) a t2
a) Durante los 10 primeros segundos el móvil ha pasado de estar parado a llevar una velocidad de 25 m/s, luego ha habido un cambio de velocidad con respecto al tiempo, es decir, una aceleración cuyo valor es:
v = a t → a = v/t = (25 m/s)/10 s = 2,5 m/s2
A partir de los 10 segundos su velocidad es constante y su valor es:
v = (2,5 m/s2)·10 s = 25 m/s
Por tanto durante los primeros 10 segundos el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) y entre los 10 y los 40 segundos el movimiento es rectilíneo uniforme (MRU).
Las ecuaciones del movimiento son:
De t = 0 a t = 10 s:
v1 = 2,5 t
a1 = 2,5 m/s2
x1 = (1/2)·2,5 t2 = 1,25 t2
De t = 10 s a t = 40 s:
v2 = 25 m/s
a2 = 0
x2 = x1 + v2·(t – t0) = 125 + 25·(t – 10) = 125 + 25 t – 250
x2 = 25 t – 125
Las gráficas son:
Espacio–tiempo:
t = 0 → x1 = 0
t = 2 → x1 = 5
t = 4 → x1 = 20
t = 8 → x1 = 80
t = 10 → x1 = x2 = 125
t = 40 → x2 = 875
Gráfica velocidad–tiempo:
t = 0 → v1 = 0
t = 10 → v1 = 25
t = 40 → v2 = 25
Gráfica aceleración–tiempo:
t = 0 → a1 = 2,5
t = 10 → a1 = 2,5
t = 10 → a2 = 0
t = 40 → a2 = 0
b) Según el apartado anterior:
xT = 25 t – 125
t = 40 s → xT = (25 m/s)·40 s – 125 m = 875 m
c) Como el movimiento es rectilíneo la aceleración es tangencial.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Gráficas 10
Un coche arranca y recorre los primero 50 m en 5 s, aumentando uniformemente su velocidad. Calcula:
a) La aceleración.
b) La velocidad que tiene al cabo de estos 5 s.
c) Tiempo que tarda en adquirir la velocidad de 36 m/s.
d) Gráfica velocidad–tiempo.
Solución:
Datos: v0 = 0; x = 50 m; t = 5 s
Ecuaciones del movimiento:
v = a t x = (1/2) a t2
a) Como conocemos los valores de x y t, utilizaremos la segunda de las anteriores expresiones para hallar la aceleración:
2x = a t2 → a = 2x/t2
a = 2·50 m/(5 s)2 = 4 m/s2
b) Ahora utilizaremos la primera de la ecuaciones:
v = (4 m/s2)·5 s = 20 m/s
c) Dato: v = 36 m/s
t = v/a = (36 m/s)/(4 m/s2) = 9 s
d) Ecuación de la velocidad: v = 4 t
t = 0 → v = 0
t = 9 s → v = 36 m/s
Gráfica:
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Gráficas 09
Un tren marcha a 72 km/h. Frena y se detiene. Calcula:
a) La aceleración.
b) Tiempo que tarda en pararse.
c) Velocidad que lleva 1 segundo antes de pararse.
d) Distancia que recorrió en el último segundo.
e) Gráfica velocidad-tiempo.
Nota: El espacio recorrido antes de pararse es 1000 m.
Solución:
Datos: v0 = 20 m/s; v = 0; x = 1000 m
Ecuaciones del movimiento:
v = v0 – a t x = v0 t – (1/2) a t2
a) Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a y t. Para resolverlo despejares el tiempo de la primera expresión y sustituiremos en la segunda.
a t = v – v0 → t = (v – v0)/a
x = v0 [(v – v0)/a] + (1/2) a [(v – v0)/a)]2
x = v0 [(v – v0)/a] + (1/2) a (v – v0)2/a2)
x = v0 [(v – v0)/a] + (1/2) [(v – v0)2/a]
2a x = 2v0 (v – v0) + (v – v0)2
2a x = (v – v0)·[ 2v0 + (v – v0)]
2a x = (v – v0)·(2v0 + v – v0)
2a x = (v – v0)·(v0 + v)
2a x = v2 – v02
a = (v2 – v02)/2x
a = [(20 m/s)2 – 0]/2·1000 m = 0,2 m/s2
b) Según el apartado anterior:
t = (v0 – v)/a
t = [(20 m/s) – 0]/(0,2 m/s2) = 100 s
c) Velocidad del tren a los 99 segundos:
v = (20 m/s) – (0,2 m/s2)·99 s = 0,2 m/s
d) Espacio recorrido en 99 segundos:
x = (20 m/s)·99 s – (1/2)·(0,2 m/s2)·(99 s)2 = 999,9 m
Espacio recorrido en el último segundo:
x' = 1000 m – 999,9 m = 0,1 m = 10 cm
e) Gráfica velocidad–tiempo:
t = 0 → v = 20 m/s
t = 100 s → v = 0