El Sapo Sabio

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Un coche parte del reposo y se mueve por un tramo recto de carretera alcanzando en 10 s una velocidad de 90 km/h que mantiene constante durante el resto del viaje. Se pide:

a)  Representa las gráficas x–t, v–t y a–t, en los primeros cuarenta segundos. Explica el tipo de movimiento.

b)  Calcula la distancia recorrida en 40 segundos.

c)  Indica qué tipo de aceleración tangencial o normal tiene el coche.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 0; t = 10 s; v = 25 m/s

Ecuaciones del movimiento:

v = a t                  x = (1/2) a t²

a)  Durante los 10 primeros segundos el móvil ha pasado de estar parado a llevar una velocidad de 25 m/s, luego ha habido un cambio de velocidad con respecto al tiempo, es decir, una aceleración cuyo valor es:

v = a t         → a = v/t = (25 m/s)/10 s = 2,5 m/s²

A partir de los 10 segundos su velocidad es constante y su valor es:

v = (2,5 m/s²)·10 s = 25 m/s

Por tanto durante los primeros 10 segundos el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) y entre los 10 y los 40 segundos el movimiento es rectilíneo uniforme (MRU).

Las ecuaciones del movimiento son:

De t = 0 a t = 10 s:

v₁ = 2,5 t

a₁ = 2,5 m/s²

x₁ = (1/2)·2,5 t² = 1,25 t²

De t = 10 s a t = 40 s:

v₂ = 25 m/s

a₂ = 0

x₂ = x₁ + v₂·(t – t₀) =  125 + 25·(t – 10) = 125 + 25 t – 250

x₂ = 25 t – 125

 Las gráficas son:

Espacio–tiempo:

t = 0 → x₁ = 0

t = 2 → x₁ = 5

t = 4 → x₁ = 20

t = 8 → x₁ = 80

t = 10 → x₁ = x₂ = 125

t = 40 → x₂ = 875

Gráfica velocidad–tiempo:

t = 0 → v₁ = 0

t = 10 → v₁ = 25

t = 40 → v₂ = 25

Gráfica aceleración–tiempo:

t = 0 → a₁ = 2,5

t = 10 → a₁ = 2,5

t = 10 → a₂ = 0

t = 40 → a₂ = 0

b)  Según el apartado anterior:

x_T = 25 t – 125

t = 40 s → x_T = (25 m/s)·40 s – 125 m = 875 m

c)  Como el movimiento es rectilíneo la aceleración es tangencial.

 

 

 

Un coche arranca y recorre los primero 50 m en 5 s, aumentando uniformemente su velocidad. Calcula:

a)  La aceleración.

b)  La velocidad que tiene al cabo de estos 5 s.

c)  Tiempo que tarda en adquirir la velocidad de 36 m/s.

d)  Gráfica velocidad–tiempo.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 0; x = 50 m; t = 5 s

Ecuaciones del movimiento:

v  = a t                  x = (1/2) a t²

a)  Como conocemos los valores de x y t, utilizaremos la segunda de las anteriores expresiones para hallar la aceleración:

2x = a t² → a = 2x/t²

a = 2·50 m/(5 s)² = 4 m/s²

b)  Ahora utilizaremos la primera de la ecuaciones:

v = (4 m/s²)·5 s = 20 m/s

c)  Dato: v = 36 m/s

t = v/a = (36 m/s)/(4 m/s²) = 9 s

d)  Ecuación de la velocidad: v = 4 t

t = 0 → v = 0

t = 9 s → v = 36 m/s

Gráfica:

 

 

Un tren marcha a 72 km/h. Frena y se detiene. Calcula:

a)  La aceleración.

b)  Tiempo que tarda en pararse.

c)  Velocidad que lleva 1 segundo antes de pararse.

d)  Distancia que recorrió en el último segundo.

e)  Gráfica velocidad-tiempo.

Nota: El espacio recorrido antes de pararse es 1000 m.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 20 m/s; v = 0; x = 1000 m

Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ – a t             x = v₀ t – (1/2) a t²

a)  Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a y t. Para resolverlo despejares el tiempo de la primera expresión y sustituiremos en la segunda.

a t = v – v₀ → t = (v – v₀)/a

x = v₀ [(v – v₀)/a] + (1/2) a [(v – v₀)/a)]²

x = v₀ [(v – v₀)/a] + (1/2) a (v – v₀)²/a²)

x = v₀ [(v – v₀)/a] + (1/2) [(v – v₀)²/a]

2a x = 2v₀ (v – v₀) + (v – v₀)²

2a x = (v – v₀)·[ 2v₀ + (v – v₀)]  

2a x = (v – v₀)·(2v₀ + v – v₀) 

2a x = (v – v₀)·(v₀ + v) 

2a x = v² – v₀² 

a = (v² – v₀²)/2x

a = [(20 m/s)² – 0]/2·1000 m = 0,2 m/s²

b)  Según el apartado anterior:

t = (v₀ – v)/a

t = [(20 m/s) – 0]/(0,2 m/s²) = 100 s

c)  Velocidad del tren a los 99 segundos:

v = (20 m/s) – (0,2 m/s²)·99 s = 0,2 m/s

d)  Espacio recorrido en 99 segundos:

x = (20 m/s)·99 s – (1/2)·(0,2 m/s²)·(99 s)² = 999,9 m

Espacio recorrido en el último segundo:

x' = 1000 m – 999,9 m = 0,1 m = 10 cm

e)  Gráfica velocidad–tiempo:

t = 0 → v = 20 m/s

t = 100 s → v = 0