El Sapo Sabio

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Comprueba, mediante el análisis dimensional, que el período de revolución de un planeta depende de la longitud del eje mayor de su trayectoria, 2r, de la masa del sol, M_s, y de la constante de gravitación universal, G.

 

 

Solución:

Según el enunciado del problema:

Τ = K (2r)^a M_s^b G^c

Por tanto debemos determinar los valores de a, b y c.

Ecuación de dimensiones del primer miembro:

[Τ] = T

Ecuación de dimensiones del segundo miembro:

[2r] = L

[M_s] = M

F = G M_s m/R² → G = F R²/M_s m

[G] = (M L T^–2) L² M^–2 = M^–1 L³ T^–2

Sustituyendo:

T¹ = L^a M^b (M^–1 L³ T^–2)^c

T¹ = L^{a + 3c} M^{b – c} T^–2c

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Por tanto:

Τ = K (2r)^3/2 M_s^–1/2 G^–1/2

El coeficiente adimensional K’ vale 2π.

Con esto queda demostrado que el período de revolución depende de la longitud del semieje mayor de la órbita, de la masa del Sol y de la constante de gravitación universal G.

 

 

 

Experimentalmente se determina que el período Τ de un péndulo que puede considerarse simple, depende, para pequeñas amplitudes, de su longitud l, su masa y de la gravedad g. ¿Cómo están relacionadas estas magnitudes?

 

 

Solución:

Datos: [Τ] = T; [l] = L; [m] = M; [g] = L T^–2

Según el enunciado del problema:

Τ = K l^a m^b g^c

Siendo K una constante (En este caso 2π)

Sustituyendo:

Τ¹ = L^a M^b (L T^–2)^c

Τ¹ = L^a M^b L^c T^–2c = L^{a + c} M^b T^–2c

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Por tanto:

Τ = K l^a m^b g^c

 

 

 

 

La fórmula física siguiente, ¿puede ser correcta?

Datos: m = masa, a = aceleración, l = longitud, P = presión, ρ = densidad, S = superficie, t = tiempo, 1,5 = constante adimensional

Si no fuera correcta, qué habría que hacer para que lo fuera.

 

 

Solución:

Se puede averiguar mediante la ecuación de dimensiones.

Ecuación de dimensiones del primer miembro de la ecuación:

Ecuaciones de dimensiones del segundo miembro de la ecuación:

P = F/S = m a/S

La ecuación no es homogénea, por tanto no es correcta. El segundo sumando de la derecha no tiene iguales dimensiones que los otros dos.

Para que la ecuación fuera correcta, se podría multiplicar este segundo sumando por una longitud, con lo que obtendríamos:

O, también: