Archivo de la categoría ‘ANÁLISIS DIMENSIONAL’

Ecuación de dimensiones 21

 

Comprueba, mediante el análisis dimensional, que el período de revolución de un planeta depende de la longitud del eje mayor de su trayectoria, 2r, de la masa del sol, Ms, y de la constante de gravitación universal, G.

 

 

Solución:

Según el enunciado del problema:

Τ = K (2r)a Msb Gc

Por tanto debemos determinar los valores de a, b y c.

Ecuación de dimensiones del primer miembro:

[Τ] = T

Ecuación de dimensiones del segundo miembro:

[2r] = L

[Ms] = M

F = G Ms m/R2 → G = F R2/Ms m

[G] = (M L T–2) L2 M–2 = M–1 L3 T–2

Sustituyendo:

T1 = La Mb (M–1 L3 T–2)c

T1 = La + 3c Mb – c T–2c

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

ANALISIS DIM 21, 1

Por tanto:

Τ = K (2r)3/2 Ms–1/2 G–1/2

ANALISIS DIM 21, 2

El coeficiente adimensional K’ vale 2π.

Con esto queda demostrado que el período de revolución depende de la longitud del semieje mayor de la órbita, de la masa del Sol y de la constante de gravitación universal G.

 

 


Ecuación de dimensiones 20

 

Experimentalmente se determina que el período Τ de un péndulo que puede considerarse simple, depende, para pequeñas amplitudes, de su longitud l, su masa y de la gravedad g. ¿Cómo están relacionadas estas magnitudes?

 

 

Solución:

Datos: [Τ] = T; [l] = L; [m] = M; [g] = L T–2

Según el enunciado del problema:

Τ = K la mb gc

Siendo K una constante (En este caso 2π)

Sustituyendo:

Τ1 = La Mb (L T–2)c

Τ1 = La Mb Lc T–2c = La + c Mb T–2c

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

ANALISIS DIM 20, 1

Por tanto:

Τ = K la mb gc

ANALISIS DIM 20, 2

 

 

 


Ecuación de dimensiones 19

 

La fórmula física siguiente, ¿puede ser correcta?

ANALISIS DIM, 1

Datos: m = masa, a = aceleración, l = longitud, P = presión, ρ = densidad, S = superficie, t = tiempo, 1,5 = constante adimensional

Si no fuera correcta, qué habría que hacer para que lo fuera.

 

 

Solución:

Se puede averiguar mediante la ecuación de dimensiones.

Ecuación de dimensiones del primer miembro de la ecuación:

ANALISIS DIM, 2

Ecuaciones de dimensiones del segundo miembro de la ecuación:

P = F/S = m a/S

ANALISIS DIM, 3

ANALISIS DIM, 4

ANALISIS DIM, 5

La ecuación no es homogénea, por tanto no es correcta. El segundo sumando de la derecha no tiene iguales dimensiones que los otros dos.

Para que la ecuación fuera correcta, se podría multiplicar este segundo sumando por una longitud, con lo que obtendríamos:

ANALISIS DIM, 6

O, también:

ANALISIS DIM, 7

 

 


AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo