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Espejos esféricos 09

 

Sea un espejo cóncavo de 60 cm de radio. Determina a qué distancia del mismo habrá que colocar un objeto para que se forme una imagen real:

a)  80 cm más lejos del espejo que el objeto.

b)  32 cm más cerca del espejo que el objeto.

 

 

Solución:

Dato: R = –60 cm

Ecuación fundamental de los espejos esféricos:

E ESFERICOS 09, 1

siendo: s = distancia del objeto al espejo, s’ = distancia de la imagen al espejo, R = radio de curvatura del espejo y f = distancia focal del espejo.

Distancia focal:

f = R/2 = –60 cm/2 = –30 cm

La posición de la imagen está referida a partir de la posición del objeto, es decir: s’ = s + d, siendo  d negativa si la imagen está a la izquierda del objeto (más lejos del espejo que el objeto), y positiva si la imagen está a la derecha del objeto (más cerca del espejo que el objeto)

Aplicando la ecuación de los espejos, obtendremos una ecuación de incógnita s:

E ESFERICOS 09, 2

En esta expresión general sustituiremos los datos del problema:

a)  Dato: d = –80 cm

E ESFERICOS 09, 3

La solución s = +60 no sirve, porque el objeto tiene que estar a la izquierda del espejo.

El resultado válido es el negativo ya que la imagen ha de ser real.

s = –40cm, s’ = –40cm + (–80cm) = –120cm

El objeto estará entre el foco y el centro.

Construcción gráfica (objeto entre el foco y el centro de curvatura):

E ESFERICOS 01, 8 bis

Un rayo que llega paralelo al eje se refleja pasando por el foco (F).

Un rayo que llega como si pasara por el centro (C), se refleja radialmente.

El esquema de rayos nos muestra que la imagen es real, invertida y de mayor tamaño que el objeto, coincidiendo con los resultados anteriormente hallados.

b)  Dato: d = +32 cm

E ESFERICOS 09, 5

La solución s = 12 no vale, porque entonces s’ = 12 + 23 = +20 y la imagen se formaría detrás del espejo y no sería real.

El resultado válido es: s = 80 cm, (s’ = 80 + 32 = +20 cm), pues para que la imagen esté más cerca del espejo que el objeto, la distancia de éste ha de ser superior a la del radio del espejo.

El objeto estará más lejos del espejo que el centro.

Construcción gráfica (objeto está más lejos del espejo que el centro de curvatura):

E ESFERICOS 01, 12

Un rayo que llega paralelo al eje se refleja pasando por el foco (F).

Un rayo que llega pasando por el centro (C), se refleja radialmente.

El esquema de rayos nos muestra que la imagen es real, invertida y de menor tamaño que el objeto, coincidiendo con los resultados anteriormente hallados.

 

 


Espejos esféricos 08

 

Un objeto a 30 cm de un espejo esférico cóncavo tiene una imagen real que se forma a 15 cm del espejo. Establece a qué distancia del espejo debe estar el objeto para que tanto él como su imagen estén en la misma posición.

 

 

Solución:

Datos: s1 = –30 cm; s’1 = –15 cm (una imagen real se crea delante del espejo)

Ecuación fundamental de los espejos esféricos:

E ESFERICOS  08, 1

siendo: s = distancia del objeto al espejo, s’ = distancia de la imagen al espejo y f = distancia focal del espejo.

Queremos hallar en dónde se debe colocar el objeto para que: s = s’, aplicando la ecuación fundamental de los espejos, tenemos que:

E ESFERICOS  08, 2

Por lo tanto, debemos averiguar el valor de f.

Volviendo a aplicar la ecuación fundamental de los espejos esféricos a los datos del problema, obtenemos:

E ESFERICOS  08, 3

s = 2·(–10 cm) =  –20 cm

Si la distancia focal del espejo es –10 cm, el radio será –20 cm, o sea, el objeto está en el centro.

Colocando el objeto en el centro se obtiene una imagen en el mismo sitio, de igual tamaño, real e invertida.

Construcción gráfica (objeto en el centro de curvatura):

E ESFERICOS 01, 10

Un rayo que llega paralelo al eje se refleja pasando por el foco (F).

Un rayo que pasa por el foco (F), se refleja paralelo al eje.

El esquema de rayos nos muestra que la imagen es real, invertida y del mismo tamaño que el objeto, coincidiendo con los resultados anteriormente hallados.

 

 


Espejos esféricos 07

 

En un parque de atracciones se desea instalar un espejo esférico tal que, cuando una persona se coloque a 2 m de él se vea con una altura que sea 4 veces su estatura. Determina el tipo de espejo y su radio.

 

 

Solución:

Datos: s = –2 m; A = 4

El enunciado no lo especifica, pero se supone que la imagen estará derecha (virtual), luego la amplitud lateral será positiva.

El espejo no puede ser convexo ya que la imagen es siempre menor. Por tanto el espejo ha de ser cóncavo. Veamos si es cierto.

Ecuaciones del espejo:

E ESFERICOS 01, 1

siendo: s = distancia del objeto al espejo, s’ = distancia de la imagen al espejo, A = aumento lateral y f = distancia focal del espejo.

E ESFERICOS 07

Como el foco se encuentra a la izquierda del vértice del espejo, éste es cóncavo como ya se había adelantado.

Radio del espejo (distancia):

R = 2 f = 2·(–2,7 m) = –5,4 m 

El centro del espejo está a 5,4 m a la izquierda del espejo.

La persona está colocada entre el foco y el espejo y su imagen se forma 8 m detrás del espejo.

Construcción gráfica (objeto entre el foco y el espejo):

E ESFERICOS 01, 4

Un rayo que llega paralelo al eje se refleja pasando por el foco (F).

Un rayo que llega como si pasara por el centro (C), se refleja radialmente.

El esquema de rayos para el caso en que el objeto está entre el foco y el polo del espejo nos muestra que la imagen es virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto, coincidiendo con los resultados anteriormente hallados.

 

 


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