El Sapo Sabio

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Calcula la energía necesaria para acelerar desde el reposo hasta 0,9c:

a)  Un electrón.

b)  Un protón.

Masas en reposo (kg): e = 9,11·10^–31, p = 1,67·10^–27 

 

 

Solución:

Datos: v = 0,9c; c = 3·10⁸ m/s

La energía necesaria para comunicar una velocidad a un cuerpo, se almacena en éste como energía cinética, por tanto utilizaremos la expresión de la energía cinética para hallar la energía suministrada:

Ec = Δm c² = (m – m₀) c²

Relación entre masa en movimiento y masa en reposo:

Sustituyendo en la expresión de la energía cinética:

Ec = [(m₀ /g) – m₀] c² = m₀ [(1/g) – 1] c²

Siendo:

 

Sustituyendo los datos de cada partícula:

a)  Masa del electrón: 9,11·10^–31 kg

 

b)  Masa del protón = 1,67·10^–27 kg

 

 

 

 

 

Un electrón es acelerado por una fuerza conservativa desde el reposo hasta una velocidad final v, próxima a la velocidad de la luz. En este proceso su energía potencial disminuye en 4,2·10^–14 J. Determina la velocidad v del electrón.

Masa del electrón en reposo: 9,11·10^–31 kg.

 

 

Solución:

Datos: ΔEp = 4,2·10^–14 J; m₀ = 9,11·10^–31 kg

Sobre el electrón no actúa ninguna fuerza salvo la conservativa (un campo). Aplicando el principio de conservación:

ΔEc + ΔEp = 0 → (Ec – 0) + ΔEp = 0

Ec = –ΔEp = –(–4,2·10^–14 J) = 4,2·10^–14 J

Ahora se debe hallar la velocidad del electrón utilizando física relativista.

Energía cinética del electrón:

Ec = Δm c²

Δm = m – m₀ → Ec = (m – m₀₎ c²

Relación entre masa en movimiento y en reposo:

Sustituyendo en la ecuación anterior:

 

Conociendo g se puede calcular la velocidad del electrón. Este cálculo resultará más fácil si expresamos la velocidad como un porcentaje de la velocidad de la luz, es decir: v = x c.

 

La velocidad del electrón será el 75% de la velocidad de la luz, es decir:

v = 0,75 c = 0,75·3·10⁸ m/s = 2,25·10⁸ m/s

 

 

 

 

 

 

Halla la velocidad de un protón cuya energía cinética es de 3·10¹⁰ eV.

Masa en reposo del protón: 1,67·10^–27 kg.

 

 

Solución:

Datos: Ec = 3·10¹⁰ eV; m₀ = 1,67·10^–27 kg

Energía cinética del protón: Ec = E – E₀ = m c² – m₀ c² = (m – m₀) c²

Relación entre masa en movimiento y en reposo:

Combinando estas dos expresiones resulta el siguiente sistema:

 

Conociendo g  se puede calcular la velocidad del protón. Este cálculo resultará más fácil si expresamos la velocidad como un porcentaje de la velocidad de la luz, es decir: v = x c.

 

La velocidad del protón tendría que ser un 99,95% de la velocidad de la luz, es decir: