El Sapo Sabio

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Un haz de protones moviéndose a 10⁴ km/s penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 0,1 T. Determina el radio de curvatura de la trayectoria y el período de revolución.

Datos del protón: m = 1,67·10^–27 kg; q = 1,6·10^–19 C

 

Solución:

Datos: v = 10⁴ km/s; B = 0,1 T; m = 1,67·10^–27 kg; q = 1,6·10^–19 C

Un haz de protones es una hilera de protones moviéndose con la misma velocidad. Para determinar el movimiento del haz basta con estudiar el movimiento de uno de los protones. 

El protón, al penetrar perpendicularmente en el campo magnético, sufre la acción de una fuerza normal a la velocidad y al campo y su trayectoria depende del ángulo velocidad–campo. En este caso el ángulo es de 90º, luego la fuerza curva la trayectoria en un plano perpendicular al campo. Como la velocidad sigue siendo normal al campo, la fuerza volverá a curvar la trayectoria en un plano perpendicular al mismo y así sucesivamente.

 

 

 

La trayectoria será una circunferencia, o un arco, en un plano normal al campo magnético. O sea:

 

 

 

por tanto:

 

 

 

Según Dinámica:

 F = m a_n = m (v²/R)

 

Ahora podemos despejar R:

 R = m v²/F

 

Para poder solucionar el problema necesitamos averiguar el módulo de la fuerza magnética F.

En la siguiente figura el protón se mueve en el plano de la pantalla y el campo magnético es perpendicular a ella y está dirigido hacia afuera.

 

 

 

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento:

 

 

 

Producto vectorial de los vectores u_v y u_B:

 

 

 

En la expresión de la fuerza la carga se pone con signo.

Módulo de la fuerza magnética:

 F = q v B

 En la expresión del módulo de la fuerza la carga se pone sin signo.

 Sustituyendo en la ecuación del radio:

 

R = m v2/q v B = m v/q B

 

 

 

Para hallar el período acudiremos a Cinemática del movimiento circular uniforme:

 

 

 

Es interesante observar que el período de revolución no depende de la velocidad y cabe preguntar por qué. La respuesta es muy simple, si la velocidad es alta el radio de la circunferencia es grande y el protón la recorrerá muy deprisa y si la velocidad es baja el radio de la circunferencia será pequeño y el protón la recorrerá muy despacio, es decir, se compensan la longitud del recorrido y la velocidad.

 

 Sentido de giro del movimiento:

Si el campo sale (), la carga positiva gira en el sentido de las agujas del reloj (hacia la derecha) y la carga negativa en el sentido opuesto al de las agujas del reloj (hacia la izquierda). Si el campo entra (Ä), ocurre lo contrario.  

 

 

 

Dos placas metálicas paralelas están separadas 2 cm siendo la d.  d. p entre ellas 12000 V. Calcula la variación de energía cinética que sufriría un electrón al recorrer 1 cm en una dirección que formarse 30º con la del campo.

Dato del electrón: q = –1,6·10^–19 C   

 

Solución:

Datos: d = 2·10^–2 m; (V_A – V_B) = 12000 V; L = 10^–2 m; φ = 30º; q = –1,6·10^–19 C   

 

 

Según el principio de conservación de la energía:

 

W = ΔEc + ΔEp

 

Durante el desplazamiento, el electrón únicamente está sometido a la fuerza eléctrica, ya que se puede despreciar el peso en comparación con la fuerza eléctrica, cuyo trabajo se encuentra incluido en la variación de la energía potencial, por tanto W = 0.

 

0 = ΔEc + ΔEp

 

ΔEc = – ΔEp

 

ΔEp = q V_D – q V_C

 

ΔEc = – (q V_D – q V_C) =  q (V_C – V_D)

 

En la expresión de la energía potencial la carga q se pone con signo.

 

Inicialmente:

 

 

El potencial inicial, es decir: V_C, es indeterminado.

Finalmente:

 

 

Al igual que en el estado inicial, el potencial final, es decir: V_D, es indeterminado.

En el caso de placas cargadas no está definido el origen de potencial, por eso los potenciales son indeterminados, pero no importa porque lo que en realidad interesa es la diferencia de potencial.

Ahora necesitamos calcular la d. d. p (V_C – V_D), para lo cual, debemos recordar que la diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo que hace el campo, cuando una carga cualquiera q, se deslaza desde el primer punto al segundo dividido por la propia carga.

 

 

La energía cinética del electrón ha disminuido porque se aproxima a la placa negativa y se aleja de la placa positiva.

 

 

 

 

 

Entre dos placas metálicas, separadas 4 cm, hay una d. d. p de 200 V. Desde la placa positiva se lanza un electrón con velocidad 10⁷ m/s hacia la placa negativa. ¿Con qué velocidad llegará?

Datos del electrón: m = 9,1·10^–31 kg, q = –1,6·10^–19 C   

 

Solución:

Datos: x = 4·10^–2 m; d. d. p = 200 V; v₀ = 10⁷ m/s; m = 9,1·10^–31 kg, q = –1,6·10^–19 C   

 

 

De Cinemática:

El electrón se desplazará de A a B perdiendo velocidad.

 

 

Ecuaciones del movimiento:

 

v = v₀ – a t                      x = v₀ t – (1/2) a t²

 

Despejando el tiempo en la primera expresión y sustituyendo en la segunda:

 

Ahora necesitamos conocer el valor de la aceleración.

Ecuaciones del movimiento del electrón:

 

 

Según Dinámica:

 

F = m a

 

Por otra parte, tenemos que:

 

F = q E

 

Luego:

 

m a = q E → a = q E/m

 

En la expresión del módulo de la aceleración, la carga q no lleva el signo.

Para saber el valor de E debemos tener en cuenta lo siguiente:

Relación entre campo eléctrico y d. d. p (Campo uniforme):

La d. d. p (V_A – V_B) es el trabajo que hace el campo cuando una carga cualquiera q se traslada desde A hacia B, dividido por la propia carga q.

 

 

Debemos hacer notar que los puntos A y B se han tomado en el sentido del campo y que d es el recorrido en la dirección del campo.

Volviendo a la expresión de la aceleración:

 

 

Sustituyendo en la ecuación de la velocidad y teniendo en cuenta que, en este caso, d = x: