El Sapo Sabio

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Se conecta el sistema de la figura a un potencial de 1000 V. Halla:

a)  La carga de cada condensador.

b)  La diferencia de potencial (V_A – V_C)

c)  La diferencia de potencial (V_B – V_D)

Datos: C₁ = 24 pF, C₂ = 4 pF, C₃ = 12 pF, C₄ = 2 pF, C₅ = 3 pF, C₆ =  5 pF

 

 

Solución:

Datos: C₁ = 24 pF, C₂ = 4 pF, C₃ = 12 pF, C₄ = 2 pF, C₅ = 3 pF, C₆ =  5 pF, V_1,2,3,4,5,6 = 1000 V.

a)  Por estar en serie el condensador equivalente será:   

 

 

 

Sistema equivalente al inicial:

 

 

 

Por estar en paralelo:

 

C_2,3,6 = C_2,3 + C₆ = 3 pF + 5 pF = 8 pF

 

Sistema equivalente al anterior:

 

 

 

Por estar en serie el condensador equivalente será:

 

 

 

Sistema equivalente al inicial:

 

 

 

Las cargas se calculan a partir de las capacidades halladas, siguiendo el sentido inverso al utilizado para hallar dichas capacidades.

De acuerdo con la figura anterior:

 

Q_1,2,3,4,5 = C_1,2,3,4,5 V_1,2,3,4,5

 

Q_1,2,3,4,5 = 1 pF·(F/10¹² pF)·10³ V = 10^–9 C

 

 

 

Por estar en serie (figura anterior) se cumple que:

 

Q₁ = Q _2,3,6 = Q₄ = Q₅ = Q_1,2,3,4,5 = 10^–9 C

 

 

 

Conocida la carga Q_2,3,6 se puede calcular el potencial del condensador C_2,3,6, que por ser el resultante de dos condensadores en paralelo (figura anterior), tendrá igual potencial que estos.

 

V_2,3,6 = Q_2,3,6/C_2,3,6 = 10^–9 C/8·10^–12 F = (1/8)·10³ V

 

V₆ = V_2,3 = V_2,3,6 = (1/8)·10³ V

 

Q₆ = C₆ V₆ = 5·10^–12 F·(1/8)·10³ V = (5/8)·10^–9 C

 

Q_2,3 = C_2,3 V_2,3 = 3·10^–12 F·(1/8)·10³ V = (3/8)·10^–9 C

 

 

 

Por estar en serie:

 

Q₂ = Q₃ = Q_2,3 = (3/8) 10^–9 C

 

b)   

 

(V_A – V_C) = (V_A – V_B) + (V_B – V_C)

 

(V_A – V_B) = Q₁/C₁ = 10^–9 C/24·10^–12 F = (1/24)·10³ V

 

(V_B – V_C) = Q₂/C₂ = (3/8)·10^–9 C/4·10^–12 F = (3/32)·10³ V

 

(V_A – V_C) = (1/24)·10³ V + (3/32)·10³ V = (13/96)·10³ V

 

En las operaciones anteriormente efectuadas se ha supuesto que el punto de mayor potencial es el A y D el de menor potencial, realizando el cálculo en el sentido de los potenciales decrecientes. Como todos los potenciales salen positivos, se confirma la hipótesis supuesta, es decir, A es el punto de mayor potencial.

c)   

 

(V_B – V_D) = (V_B – V_M) + (V_M – V_N) + (V_N – V_D)

 

(V_B – V_M) = Q₆/C₆ = (5/8)·10^–9 C/5·10^–12 F = (1/8)·10³ V

 

(V_M – V_N) = Q₄/C₄ = 10^–9 C/2·10^–12 F = (1/2)·10³ V

 

(V_N – V_D) = Q₅/C₅ = 10^–9 C/3·10^–12 F = (1/3)·10³ V

 

(V_B – V_D) = (1/8)·10³ V + (1/2)·10³ V + (1/3)·10³ V =

 

= (23/24)·10³ V

 

 

 

 

 

 

Se montan en serie 3 condensadores de 4, 8 y 12 mF y se aplica a la asociación una d. d. p de 1200 V. Calcula:

a)  La carga de cada condensador y la d. d. p entre las armaduras de cada uno.

b)  La energía almacenada.

c)  La carga de cada condensador si se montasen en paralelo.

 

 

Solución:

Datos: C₁ = 4 mF; C₂ = 8 mF; C₃ = 12 mF; V_1,2,3 = 1200 V

a)  Por estar en serie su condensador equivalente será:

 

 

 

Por estar en serie la carga sobre cada uno de los condensadores es la misma.

 

C_1,2,3 = Q_1,2,3/V_1,2,3 → Q_1,2,3 = C V_1,2,3

 

 

 

Q₁ = Q₂ = Q₃ = Q_1,2,3 = 2,62·10^–3 C

 

Diferencia de potencia entre las armaduras de cada condensador:

 

V₁ = Q₁/C₁ = 2,62·10^–3 C/4·10^–6 F = 655 V

 

V₂ = Q₂/C₂ = 2,62·10^–3 C/8·10^–6 F = 327,5 V

 

V₃ = Q₃/C₃ = 2,62·10^–3 C/12·10^–6 F = 218,3 V

 

b)  Energía almacenada:

 

E = (1/2) Q_1,2,3 V_1,2,3 

 

E = (1/2)· 2,62·10^–3 C·1200 V = 1,6 J

 

Dimensionalmente:

 

[C·V = A·s·(W/A)= s·(J/s) = J]

 

c)  Por estar en paralelo la d. d. p de cada condensador es la misma, por tanto:

 

C_1,2,3 = C₁ + C₂ + C₃ = (4 + 8 + 12) mF = 24 mF

 

Q₁ = C₁ V_1,2,3 = 4 mF (F/10⁶ mF) 1200 V = 4,8·10^–3 C

 

Q₂ = C₂ V_1,2,3 = 8 mF (F/10⁶ mF) 1200 V = 9,6·10^–3 C

 

Q₃ = C₃ V_1,2,3 = 12 mF (F/10⁶ mF) 1200 V = 1,44·10^–2 C

 

Dimensionalmente:

 

[F·V = (A·s/V)·V= A·s = (C/s)·s = C]

 

Podemos comprobar si los resultados obtenidos en éste último caso son correctos, pues cuando los condensadores están en paralelo, la carga total es igual a la suma de las carga de cada condensador.

 

Q_1,2,3 = C V_1,2,3 = 24·10^–6·1200 V = 2,9·10^–2 C

 

  Q_1,2,3 = Q₁ + Q₂ + Q₃ = (4,8 + 9,6 + 14,4)·10^–3 = 2,9·10^–2 C

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcula la capacidad equivalente.

Nota: El valor de las capacidades vienen dadas en mF.

 

 

Solución:

Por estar en serie los condensadores equivalentes serán:

 

 

 

Sistema equivalente al inicial:

 

 

 

Por estar en paralelo:

 

C₃ = C₁ + 2 mF = 1 mF + 2 mF = 3 mF

 

C₄ = C₂ + 2 mF = 1 mF + 2 mF = 3 mF

 

Sistema equivalente al anterior:

 

 

 

Por estar en serie:

 

 

 

Sistema equivalente al anterior:

 

 

 

Por estar en serie:

 

 

 

Sistema equivalente al anterior:

 

 

 

Por estar en paralelo:

 

 

 

Sistema equivalente al anterior:

 

 

 

Por estar en serie: