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Ondas estacionarias. Vientres y nodos de la onda estacionaria 03

 

La vibración estacionaria de una cuerda viene dada por: y = 0,02 sen (10πx/3)·cos (40πt) (Unidades S.I). Calcula:

a)  Velocidad y amplitud de las ondas cuya superposición origina esta vibración.

b)  Distancia entre nodos consecutivos y vientres consecutivos.

c)  Velocidad máxima de un punto situado en un vientre.

Solución:

Datos: y = 0,02 sen (10πx/3)·cos (40πt) (Unidades S.I)

La ecuación dada corresponde a una onda estacionaria, formada por la interferencia de dos ondas progresivas viajando en sentidos contrarios.

a)  Ecuación general de una onda estacionaria:

Comparando la anterior expresión con la dada en el enunciado del problema, se pueden obtener los parámetros de las ondas que interfieren.

Amplitud de onda estacionaria: y0 = 0,02 m (Amplitud de cada onda progresiva: y0/2 = 0,01 m)

Frecuencia angular:

Período:

 

Constante de propagación:

k = 10π/3 (rad/m)

Longitud de onda:

Velocidad de propagación:

 

b)  La distancia entre dos vientres o dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda. Por tanto, la distancia entre un vientre y un nodo consecutivo es de un cuarto de longitud de onda.

 

 

c)  Si en una onda elástica se fija un valor para x, la ecuación de onda se convierte en la ecuación de posición del movimiento armónico del punto situado en dicha abscisa.

Si en el punto x1 hay un vientre se cumplirá que sen (kx1) = ±1, entonces la ecuación se reduce a:

  

Calculando la velocidad del punto:

 

se obtiene su velocidad máxima (módulo):

 

vmáx = 0,02 m·40π (rad/s) = 2,51 m/s

 

 

 

Ondas estacionarias. Vientres y nodos de la onda estacionaria 02

 

Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación: y = 10 cos (4πx) sen (40πt) (x: en m, y: en cm, t: en s).

Determina:

a) Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de las ondas que produjeron esta vibración.

 

b) Posición de nodos y vientres y la amplitud en éstos.

 

Solución:

Dato: y = 10 cos (4πx) sen (40πt) (x: en m, y: en cm, t: en s)

a) La ecuación dada corresponde a una onda estacionaria, formada por la interferencia de dos ondas progresivas viajando en sentidos contrarios.

Ecuación general de una onda estacionaria:

 

 

Comparando la anterior expresión con la dada en el enunciado del problema, se pueden obtener los parámetros de las ondas que interfieren.

Amplitud de onda estacionaria: y0 = 10 cm (Amplitud de cada onda progresiva: y0/2 = 5 cm)

Frecuencia angular:

 

Período:

Constante de propagación:

k = 4π rad/m

Longitud de onda:

 

Velocidad de propagación:

b) Si en una onda elástica se fija un valor para x, la ecuación de onda se convierte en la ecuación de posición del movimiento armónico del punto situado en dicha abscisa.

Se puede ver que la amplitud de oscilación (y0 cos kx1) depende de la posición del punto (debemos recordar que en una onda estacionaria, todos los puntos del medio oscilan con la misma amplitud)

Los nodos son los puntos donde la amplitud de oscilación es cero (interferencia destructiva), por tanto:

La separación entre dos nodos consecutivos es igual a la mitad de la longitud de onda de las ondas progresivas que interfieren.

Los vientres son los puntos donde la amplitud de oscilación es máxima (y0), luego:

La separación entre dos vientres consecutivos es la mitad de la longitud de onda de las ondas progresivas que interfieren.

Se puede ver que cada vientre está equidistante entre dos nodos y viceversa.

 

 

 

 

 

Ondas estacionarias. Vientres y nodos de la onda estacionaria 01

 

Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación: y = 20 sen (50x) cos (400t) (x, y: en cm, t: en s)

Determina:

a)  Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de las ondas que produjeron esta vibración.

b)  Posición de nodos y vientres y la amplitud en éstos.

 

Solución:

Dato: y = 20 sen (50x) cos (400t) (x, y: en cm, t: en s)

La ecuación dada corresponde a una onda estacionaria, formada por la interferencia de dos ondas progresivas viajando en sentidos contrarios.

Las ondas estacionarias se producen como resultado de la interferencia de dos ondas que se propagan en sentidos contrarios en un medio de dimensión limitada, por ejemplo, una cuerda con sus extremos fijos.

La característica más destacada de una onda estacionaria es que la amplitud de oscilación de las partículas del medio, depende de la posición de éstas. Esta amplitud varía entre 0 (Nodos) y un valor máximo (Vientre).

El nombre de onda estacionaria alude al hecho de que las crestas de onda, no avanzan en la dirección de propagación como ocurre en las ondas progresivas, en las que una partícula no se desplaza horizontalmente, únicamente sube y baja, es decir, la onda no arrastra materia.

a)  Ecuación general de una onda estacionaria:

 

 

 

Comparando la anterior expresión con la dada en el enunciado del problema, se pueden obtener los parámetros de las ondas que interfieren.

Amplitud de onda estacionaria: y0 = 20 cm (Amplitud de cada onda progresiva: y0/2 = 10 cm)

Frecuencia angular:

 

Período:

 

Constante de propagación:

k = 50 rad/cm

Longitud de onda:

 

 

Velocidad de propagación:

 

b)  Si en una onda elástica se fija un valor para x, la ecuación de onda se convierte en la ecuación de posición del movimiento armónico del punto situado en dicha abscisa.

 

 

Se puede ver que la amplitud de oscilación (y0 sen kx1) depende de la posición del punto (debemos recordar que en una onda estacionaria, todos los puntos del medio oscilan con la misma amplitud)

Los nodos son los puntos donde la amplitud de oscilación es cero (interferencia destructiva), por tanto:

 

 

La separación entre dos nodos consecutivos es igual a la mitad de la longitud de onda de las ondas progresivas que interfieren

Los vientres son los puntos donde la amplitud de oscilación es máxima (y0), luego:

 

 

La separación entre dos vientres consecutivos es la mitad de la longitud de onda de las ondas progresivas que interfieren.

Se puede ver que cada vientre está equidistante entre dos nodos y viceversa.

 

 

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