El Sapo Sabio

Archivo de la categoría ‘CINEMÁTICA’

 

Un muchacho travieso va en un coche que circula a 54 km/h y desde él tira hacia arriba y perpendicularmente a la carretera una piedra con una velocidad de 5 m/s.  ¿Cuál es el valor de la velocidad de la piedra en el instante de soltarla? ¿Qué ángulo forma, con respecto a la horizontal, en ese instante?

 

Solución:

Datos: v_X = 54 km/h = 15 m/s; v_Y = 5 m/s

 

 

 

Aplicando el teorema de Pitágoras:

 

 

 

Para hallar el ángulo de tiro se puede hacer mediante la tangente del mismo o, como se conoce la hipotenusa (v₀), se puede utilizar el seno o el coseno del ángulo buscado.

 

tg a = v_Y/v_X = 5 (m/s)/15 (m/s) → a = arc tg (1/3) = 18,4º

 

 

 

 

 

Una persona sale todos los días a la misma hora y llega al trabajo a las 9 a. m. Un día se traslada al doble de la velocidad y llega a su trabajo a las 8 a. m. ¿A qué hora sale de su casa?

 

 Solución:

 Datos: t₁ = 9 h (a. m.); t₂ = 8 h (a. m.)

 Ecuación del movimiento:

 

e = v (t – t₀)

 

Aplicando a la primera parte del enunciado del problema y siendo t₀ la hora de salida, tenemos que:

 

e₁ = v₁ (t₁ – t₀)

 

Para la segunda parte:

 

e₂ = v₂ (t₂ – t₀)

 

Como, en ambos casos, el espacio recorrido es el mismo, es decir, e₁ = e₂ y v₂ = 2v₁:

 

v₁ (9 – t₀) = 2v₁ (8 – t₀)

 

9 – t₀ = 2 (8 – t₀)

 

9 – t₀ = 16 – 2t₀

 

2t₀ – t₀ = 16 – 9

 

t₀ = 7

 

La persona sale todos los días a las 7 a. m.

 

 

 

Una casa de 8 m de altura tiene un balcón situado a 3 m sobre el suelo. Desde este balcón se lanza una piedra hacia arriba 12 m/s. Calcula:

a)  Velocidad cuando pasa por el tejado.

b)  Tiempo que tarda en volver al punto de partida.

c)  Dónde está cuando va bajando a 15 m/s.

 

Solución:

Datos: v₀ = 12 m/s; g = 9,8 m/s²

Primero debemos decidir dónde situamos el origen de coordenadas, es decir, al observador.

Supongamos que el observador se encuentra en el balcón y tracemos una gráfica del movimiento.

 

 

Ecuaciones del movimiento.

Según la figura:

v = v₀ – g t             y = v₀ t – (1/2) g t²

 

a)  Como debemos averiguar la velocidad cuando pasa por el tejado utilizaremos la primera ecuación:

 

v = 12 (m/s) – 9,8 (m/s²) t

 

Al no conocer el valor del tiempo (t) no podemos hallar el valor de la velocidad, pero sí que sabemos que cuando pasa por el tejado y = 5 m, luego utilizaremos este dato y la segunda ecuación para conocer el valor de t en dicho punto.

 

5 m = 12 (m/s) t – (1/2) 9,8 (m/s²) t²

 

4,9 t² – 12 t + 5 = 0

 

 

Primera solución, t = 0,5 s:

 

v = 12 (m/s) – 9,8 (m/s²)·0,5 s = 7,1 m/s

 

El resultado positive quiere decir que la piedra está subiendo.

Segunda solución:

 

 v = 12 (m/s) – 9,8 (m/s²)·1,9 s = –6,62 m/s

 

El resultado negativo indica que la pelota está bajando.

El signo negativo indica que la piedra está bajando.

Ahora podríamos preguntarnos si afectaría algo al resultado haber situado al observador en la calle. Veámoslo:

 

 

 

Ecuaciones del movimiento.

Según la figura:

 

v = v₀ – g t             y = y₀ + v₀ t – (1/2) g t²

 

Como debemos averiguar la velocidad cuando pasa por el tejado utilizaremos la primera ecuación:

 

v = 12 (m/s) – 9,8 (m/s²) t

 

Al no conocer el valor del tiempo (t) no podemos hallar el valor de la velocidad, pero sí que sabemos que cuando pasa por el tejado y = 8 m, luego utilizaremos este dato y la segunda ecuación para conocer el valor de t en dicho punto.

8 m = 3 m + 12 (m/s) t – (1/2) 9,8 (m/s²) t²

 

4,9 t² – 12 t + 8 – 3 = 0 → 4,9 t² – 12 t + 5 = 0 

 

La ecuación final es la misma que la hallada si el observador se sitúa en el balcón, luego se obtendrán las mismas soluciones, por tanto no afecta el lugar donde se coloque al observador, siempre que en la ecuación del movimiento se tenga en cuenta si existe o no espacio inicial. 

b)  Utilizando la primera figura, es decir, el observador en el balcón, en el punto de partida se cumple que y = 0, por tanto:

 

0 = 12 (m/s) t – (1/2)·9,8 (m/s²) t²

 

4,9 t² – 12 t = 0 → t (4,9 t – 12) = 0

 

Primera solución: t = 0

Este resultado no es el que buscamos pues es cuando la piedra se encuentra en el punto de partida.

Segunda solución:

 

4,9 t – 12 = 0 → t = 12/4,9 = 2,4 s

 

La piedra tarda 2,4 segundos en regresar al punto de partida.

c)  Dato: v = –15 m/s

Continuando con el observador en el balcón, hallaremos el tiempo que tarda la piedra en conseguir una velocidad de 15 m/s y bajando, utilizando la expresión de la velocidad:

 

–15 m/s = 12 (m/s) – 9,8 (m/s²) t

 

9,8 t = 12 + 15

 

t = 27/9,8 = 2,8 s

 

y = 12 (m/s)·2,8 s – (1/2)·9,8 (m/s²)·(2,8 s)² = –4,8 m

 

El signo menos indica que la piedra se encuentra a 4,8 metros por debajo del punto de partida, cosa que no es posible ya que la calle se encuentra a 3 metros por debajo del punto del lanzamiento, es decir, que la piedra no puede conseguir la velocidad de 15 m/s y bajando.