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Velocidad de escape 03

 

Para que en todos los planetas la velocidad de escape fuera la misma tendría que cumplirse que:

 

a)    El producto de la densidad por el cuadrado del radio fuera constante.

 

b)   Todos los planetas tuvieran la misma densidad.

 

c)    Todos los planetas tuvieran el mismo tamaño.

 

Solución:

Velocidad de escape:

  

 

Expresión de la velocidad en función de la densidad del planeta:

 

d = M / V → M = d V = d (4/3) π R3

 

 

 

Fijándonos en la anterior expresión, ya se puede contestar a los diferentes apartados del problema.

a)    Si los productos d · R2 de todos los planetas son iguales, la velocidad de escape sí será la misma.

b)   Si las densidades son iguales y los radios son diferentes, la velocidad de escape no será la misma.

c)    Si los radios son iguales y las densidades son diferentes, la velocidad de escape no será la misma.

 

 

Velocidad de escape 02

 

¿Cuál debería ser el radio del Sol para que éste se convirtiera en un agujero negro? (Una estrella cuya velocidad de escape es igual a la de la luz: 300000 km/s)

Datos del Sol: M = 2 · 1030 kg

 

 

Solución:

Datos: M = 2 · 1030 kg; c = 3 · 108 m/s  

Velocidad de escape:

La velocidad de escape de un astro es la velocidad que debería tener un cuerpo sometido a su influencia para que pudiera llegar hasta el infinito deteniéndose allí.

En el infinito la fuerza atractiva del astro es cero y por tanto el cuerpo no volverá a él (ha escapado)

Cuando el cuerpo llega al infinito, su energía cinética es cero y la energía potencial también es cero luego, por tanto, la energía mecánica de un cuerpo que escapa es cero.

 

Ec + Ep = 0

 

(1/2) m v02 – (G M m/R) = 0

 

(1/2) m v02 = G M m/R

 

v02 = 2 G M/R

 

 

 

Según el enunciado del problema, la velocidad de escape ha de ser igual a la de la luz, por tanto:

 

 

Velocidad de escape 01

 

a)    Halla la velocidad de escape de la Tierra.

 

b)   Calcula la energía mecánica en el momento de iniciar el viaje. 

 

Datos de la Tierra: M = 5,98 · 1024 kg; R = 6370 km

 

Solución:

Datos de la Tierra: M = 5,98 · 1024 kg; R = 6370 km

a) Velocidad de escape:

Velocidad de escape de cualquier astro, es la velocidad que debe llevar un cuerpo sometido a su atracción, para que pueda llegar al infinito deteniéndose allí.

En el infinito la fuerza atractiva del astro es cero, luego el cuerpo no volverá a él, es decir, habrá escapado.

En el infinito, la energía cinética del cuerpo es cero y lo mismo ocurre con su energía potencial, por tanto, la energía  mecánica de un cuerpo que escapa es cero.

 

 

Aplicando en principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Calculo del trabajo:

Durante el trayecto el cuerpo solo está sometido a la fuerza gravitatoria, cuyo trabajo ya está incluido en la variación de energía potencial, por tanto:

ΣW = 0

Cálculo de las energías:

  

 

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación:

 

 

 b) Energía mecánica o total de un cuerpo es la suma de sus energías cinética y potencial gravitatoria, o sea:

EM = EC + EP

Energías cinética y  potencial en el momento de iniciar el viaje:

 

 

 

Como la energía potencial es negativa y la energía cinética es positiva, la energía mecánica, puede ser positiva, negativa o nula.

Si la energía mecánica es negativa, significa que el cuerpo está atrapado por el astro. Girará a su alrededor, o podrá alejarse radialmente de él hasta una cierta distancia, para caer después.

Si la energía mecánica es positiva, quiere decir que la trayectoria del cuerpo será una curva abierta, o que podrá alejarse radialmente hasta el infinito, sobrándole velocidad.

Si la energía mecánica es nula, significa que el cuerpo podrá alejarse del astro radialmente o siguiendo una curva hasta el infinito, donde se detendrá.

Por tanto, es importante tener en cuenta que para que un cuerpo escape, partiendo de un punto dentro del campo gravitatorio, su energía mecánica en este punto, y en cualquier otro, deberá ser cero.

 

 

 

 

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