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Trabajo, energía, potencial y d.d.p gravitatorios 04

 

a)  Calcula el potencial gravitatorio en A, B, C (Origen de potencial en el infinito)

b)  Usa los resultados anteriores para calcular el trabajo realizado por el campo sobre una masa de 100 kg que vaya desde A hasta B o desde C hasta B.

Datos: M = 4 · 1010 kg,   d = 2 m

 

Solución:

Datos: M = 4 · 1010 kg,   d = 2 m; G = 6,67 · 10–11 N m2/kg2

a)  Punto A: 

 

Por cada kg que se desplace de A hasta el infinito, el campo realizará un trabajo 1,33 J

Un trabajo negativo significa que la masa cualquiera no se desplazará por si sola desde A hasta el infinito. Habrá que trasladarla, cosa que nos costará 1,33 J por cada kg, o lanzarla con una energía cinética mínima de 1,33 J por cada kg.

Punto B:

 

Por cada kg que se desplace de B hasta el infinito, el campo realizará un trabajo 0,67 J

Un trabajo negativo significa que la masa cualquiera no se desplazará por si sola desde B hasta el infinito. Habrá que trasladarla, cosa que nos costará 0,67 J por cada kg, o lanzarla con una energía cinética mínima de 0,67 J por cada kg.

 

Punto C:

Por cada kg que se desplace de C hasta el infinito, el campo realizará un trabajo 0,44 J

Un trabajo negativo significa que la masa cualquiera no se desplazará por si sola desde CB hasta el infinito. Habrá que trasladarla, cosa que nos costará 0,44 J por cada kg, o lanzarla con una energía cinética mínima de 0,44 J por cada kg.

 

b)  m = 100 kg

 

Trabajo WAB:

 

El trabajo será negativo porque la fuerza se opone al desplazamiento (La masa M atrae a m y ésta se aleja de ella).

 

WAB = m (VA – VB) = 100 kg · (–1,33 + 0,67) J/kg = –66 J 

 

Un trabajo negativo significa que la masa m no se desplazará por si sola desde A hasta B. Habrá que trasladarla, cosa que nos costará 66 J, o lanzarla con una energía cinética mínima de 66 J.

 

Trabajo WCB:

El trabajo será positivo porque la fuerza favorece el desplazamiento (La masa M atrae a m y ésta se aproxima a ella).

WCB = m (VC – VB) = 100 kg · (–0,44 + 0,67) J/kg = 23 J 

 

Un trabajo positivo significa que la masa m se desplazará por si sola desde C hasta A, ganando 23 J de energía cinética.

Trabajo, energía, potencial y d.d.p gravitatorios 03

 

 

Calcula:

a)   (VA – VB).

b)  (VC – VB).

c)  Usa los resultados anteriores para calcular el trabajo realizado por el campo sobre una masa de 100 kg que vaya desde C hasta A.

Datos: M = 4 · 1010 kg,   d = 2 m

 

Solución:

Datos: M = 4 · 1010 kg,   d = 2 m; G = 6,67 · 10–11 N m2/kg2

a)  La d. d. p (trabajo) será negativa porque la fuerza se opone al desplazamiento (La masa M atrae a la masa unidad y ésta se aleja de ella).

 

 

(VA – VB) = –G M [(1/rA) – (1/rB)]

(VA – VB) = –6,67 · 10–11 (Nm2/kg2) · 4 · 1010 kg · [(1/2 m) – (1/4 m)]

(VA – VB) = –6,67 Nm2 · 0,4 kg–1 [(1/2) – (1/4)] m–1

 

(VA – VB) = –0,67 J/kg

 

Una d. d. p negativa significa que una masa cualquiera no se desplazará por si sola desde A hasta B. Habrá que trasladarla, cosa que nos costará un trabajo de 0,67 J por cada kg, o lanzarla con una energía cinética mínima de 0,67 J por cada kg.

 

b)  La d. d. p (trabajo) será positiva porque la fuerza favorece el desplazamiento (La masa M atrae a la masa unidad y ésta se aproxima a ella).

 

 

(VC – VB) = –G M [(1/rC) – (1/rB)]

 

(VC – VB) = –6,67 · 10–11 (Nm2/kg2) · 4 · 1010 kg · [(1/6 m) – (1/4 m)]

 

(VC – VB) = –6,67 Nm2 · 0,4 kg–1 [(1/6) – (1/4)] m–1

 

(VC – VB) = 0,22 J/kg

 

Una d. d. p positiva significa que una masa cualquiera se desplazará por si sola desde B hasta C, ganando una energía cinética de 0,22 J por cada kg.

 

c)  m = 100 kg

WCA = m (VC – VA)

 (VC – VA) = (VC – VB) + (VB – VA) = (VC – VB) – (VA – VB)

 WCA = 100 kg · (0,22 J kg-1 + 0,67 J kg-1) = 89 J

Se obtiene un trabajo positivo porque la fuerza ayuda al desplazamiento (la masa M atrae a la masa m y ésta se aproxima a ella)

 

 

Trabajo, energía, potencial y d. d. p gravitatorios 02

 

Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos A (–2, 0) m y B (3, 0) m respectivamente. Calcula el trabajo necesario para desplazar un objeto de 10 kg desde el origen hasta el punto C (0, 4) m.

 

Solución:

Datos: MA = 100 kg → A (–2, 0) m; MB = 150 kg → B (3, 0) m; m = 10 kg → O (0, 0); C (0, 4)

De acuerdo con el principio de superposición, cuando el campo gravitatorio es creado por una distribución de masas, el trabajo es la suma numérica de los trabajos realizados por los campos de cada masa. Por tanto, hay que calcular el trabajo que hacen por separado los campos gravitatorios de MA y de MB sobre la masa m, cuando se desplaza de O hasta C.

Trabajo realizado por la masa MA:

 

   

 

 

 

WOCA = –6,67 · 10–11 (Nm2/kg2) · 100 kg · 10 kg · [(1/2 m) – (1/4,47 m)]

WOCA = –6,67 · 10–8  Nm2 · [(1/2) – (1/4,47] m–1

WOCA = –1,84 · 10–8   J

Trabajo realizado por la masa MB:

 

WOCB = –6,67 · 10–11 (Nm2/kg2) · 150 kg · 10 kg · [(1/3 m) – (1/5 m)]

WOCB = –6,67 · 10–9 · 15 Nm2 · [(1/3) – (1/5] m–1

WOCB = –1,33 · 10–8   J

 

 

Trabajo necesario para desplazar la masa m desde el origen hasta el punto C:

WOC = WOCA + WOCB = –1,84 · 10–8 J – 1,33 · 10–8 J =  –3,17 · 10–8 J

Un trabajo negativo significa que la masa m no se desplazará por si sola desde O hasta C. Habrá que trasladarla, cosa que nos costará un trabajo de 3,17 · 10–8 J, o lanzarla con una energía cinética mínima de 3,17 · 10–8 J.

 

 

 

 

 

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