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Principio de conservación. Poleas 03

 

Calcula la velocidad angular de la polea, cuando ésta haya dado una vuelta partiendo del reposo.

Datos: m1 = 4kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm. Momento de inercia de la doble polea: I = 2 kg· m2.

 

Solución:

 

Datos: m1 = 4kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm; I = 2 kg· m2; v0 = 0; ω0 = 0; φ = 1 v = 2π rad

 

Sentido de giro:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g                     T2 = m 2 g

 

Momento del torque sobre la polea:

 

 

 

  

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

 

M = R1 m1 g + 0 + 0 – R2 m2 g = g (R1 m1 – R2 m2) 

 

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que, según los datos del problema: R2 m2 > R1 m1.

 

 

La polea girará un ángulo φ y tomará una velocidad ω. El bloque 2 descenderá un espacio d2 con una velocidad v2 y el bloque 1 subirá un espacio d1, adquiriendo una velocidad  v1.

 

Principio de conservación:

 

 

 

 

ΣW = ΔEp + ΔEc

 

 

 

 

Calculo del trabajo total:

 

Trabajo de rotación sobre la polea:

 

 

 

 

MM g = MN = 0, las fuerzas están aplicadas al eje, luego no realizarán ningún trabajo.

 

 

 

Trabajo del bloque 1:

 

 

El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp1.

 

 

Trabajo del bloque 2:

 

 

El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp2.

 

 

Ahora se debe poner las distancias d1 y d2 en función del ángulo φ, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.           

 

 

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

 

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:

 

d = φ R (Definición de radián)

 

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

 

 

                         

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

 

Sustituyendo en las ecuaciones de los bloques:

 

 

Cálculo de las energías:

 

Estado inicial:

 

 

 

 ωi = 0       v1,0 = 0       v2,0 = 0

 

Estado final:

 

ωf  = ω       v1,f = v1       v2,f = v2              

 

 

 

 

 h1,fin = d1 + h1,in → d1 = h1,fin – h1,in

 

 

h2,in = d2 + h2,fin → –d2 = h2,fin – h2,in

 

Sustituyendo en la ecuación de la energía potencial:

 

 

De todo lo anterior se tiene:

 

 

Una forma más simple de realizar el problema es mediante el siguiente razonamiento:

 

La energía potencial perdida por el bloque 2 al descender se transforma en energía cinética que adquiere dicho bloque, más la energía de cinética de rotación que gana la polea y la energía cinética y potencial que adquiere el bloque 1, por tanto:

 

 

Principio de conservación. Poleas 02

 

 

Calcula la velocidad angular de la polea cuando ésta haya girado un ángulo φ, partiendo del reposo, suponiendo m2 > m1 .

 

Datos de la polea: Masa: M (homogénea). Radio: R.

 

Solución:

 

Datos: v0 = 0; ω0 = 0

 

Sentido de giro:

 

Sistema en reposo:

 

 

T1 = m1 g                     T2 = m2 g

 

Momento del torque:

 

 

 

 

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

 

M = R m1 g + 0 + 0 – R m2 g = R g (m1 – m2)

 

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que m2 > m1.

 

En cuanto la polea comience a girar cambiarán las tensiones en los extremos de la cuerda y ya no serán iguales al peso del bloque correspondiente.

 

La polea girará un ángulo φ y tomará una velocidad ω . El bloque 2 descenderá y el bloque 1 subirá y ambos recorrerán una misma distancia d, adquiriendo una velocidad v.

 

 

 

 

Principio de conservación:

 

ΣW = ΔEp + ΔEc

 

Calculo del trabajo total: 

 

Trabajo de rotación sobre la polea:

 

 

 

MM g = MN = 0 (las fuerzas están aplicadas al eje), luego no realizarán ningún trabajo.

 

 

Trabajo del bloque 1:

 

 

 

El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp1.

 

 

Trabajo del bloque 2:

 

 

 

El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp2.

 

 

Ahora se debe poner la distancia d en función del ángulo φ, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.   

 

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

 

 

        

 

 

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:

 

d = φ R (Definición de radián)

 

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

 

 

 

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

 

Sustituyendo en las ecuaciones de los bloques:

 

 

Cálculo de las energías:

 

Estado inicial:

 

 

ωi = 0              v1,0 = 0             v2,0 = 0

 

Estado final:

 

 

 ωf = 0              v1 = v               v2 = v

 

 

 

 

h1,fin = d + h1,in → d = h1,fin – h1,in

 

 

h2,in = d + h2,fin → –d = h2,fin – h2,in

 

Sustituyendo en la ecuación de la energía potencial:

 

ΔEp = m1 g d + m2 g (–d) = (m1 – m2) g d = (m1 – m2) g φ R  

De todo lo anterior se tiene:

 

 

Momento de inercia de una polea, cuya masa está distribuida uniformemente, respecto a un eje perpendicular por su centro:

 

 

Una forma más simple de realizar el problema es mediante el siguiente razonamiento:

 

La energía potencial perdida por el bloque 2 al descender se transforma en energía cinética que adquiere dicho bloque, más la energía de cinética de rotación que gana la polea y la energía cinética y potencial que adquiere el bloque 1, por tanto:

 

 

Principio de conservación. Poleas 01

Calcula la velocidad angular de la polea (homogénea) cuando ésta haya girado un ángulo φ, partiendo del reposo.

 

Solución:
 
Datos: v0 = 0; ω0 = 0
 
Sentido de giro:
 
Sistema en reposo:
 
 

T = m g

 
Momento del torque sobre la polea:
 
 
 

M = Mm g + MN + MM g
 
Mm g = R m g sen 90º = R m g (sentido de las agujas del reloj)
 
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, por tanto:
 
M = R m g + 0 + 0 + 0 = R m g
 
Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, cosa que era evidente.
 
En cuanto la polea empiece a girar, cambiará la tensión en el extremo de la cuerda y ya no será igual al peso del bloque.
 
La polea girará un ángulo φ y tomará una velocidad ω. El bloque recorrerá una distancia d, adquiriendo una velocidad v.
 
 
 

Principio de conservación:
 
ΣW = ΔEp + ΔEc
Calculo del trabajo total:
 
Trabajo de rotación sobre la polea:
 
 
Como los momentos del peso de la polea y de la normal son nulos, no realizarán ningún trabajo de rotación.
 
Wr = W T = MT φ = T R φ sen 90º = T R φ
 
Trabajo realizado por el bloque:
 
 
El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp.
 
WT = T d cos 180º = –T d
 
Ahora se debe poner la distancia d en función del ángulo φ, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.
 
Relación entre las magnitudes angulares y lineales:
 
 
Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:
 
d = φ R (Definición de radián)
 
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:
 
 
 
 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.
 
Por tanto al girar la polea un ángulo φ, soltará una longitud de cuerda igual a la longitud del arco de radio R y ángulo φ y el bloque bajará ésta misma longitud, luego: WT = –T (φ R)
 
ΣW = T φ R –T φ R = 0
 
Cálculo de las energías:
 
ΔEc = (Ecfinal – Ecinicial) + (Ecr (final) – Ecr (inicial))    
 
 
 
 
Estado inicial:                                              Estado final:
 
                                            
 

 

 

ΔEp = ΔEppolea +  ΔEpbloque

 

ΔEp = [(Eppolea (final) – Eppolea (inicial)] + [Epbloque (final) – Epbloque (inicial)]

 

  

ΔEp = 0 + m g hfinal – m g hinicial = m g ( hfinal – hinicial)

 

 

 

 

hin = d + hfinal → –d = hfin – hin

 

Sustituyendo en la ecuación de la energía potencial:

 

ΔEp = m g (–d) = –m g d = –m g φ R   

 

De todo lo anterior se tiene:

 

 

Momento de inercia de una polea, cuya masa está distribuida uniformemente, respecto a un eje perpendicular por su centro:

 

 

 Una forma más simple de realizar el problema es mediante el siguiente razonamiento:

 

La energía potencial perdida por el bloque al descender, se transforma en energía cinética que adquiere dicho bloque, más la energía de cinética de rotación que gana la polea, por tanto:

 

 

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