Archivo de la categoría ‘DINÁMICA DE ROTACIÓN’

Rodadura del sólido rígido. Poleas 04

 

Calcula la aceleración angular de la polea, la lineal de los bloques y la tensión de la cuerda, suponiendo que m2 > m1.

Datos de la polea: Masa: M (concentrada en la periferia). Radio: R.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 0; ω0 = 0; M; m2 > m1

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

Para hallar el sentido del movimiento basta con considerar el peso de los bloques cuyas cuerdas están a la misma distancia del centro. Bajará el bloque que pese más, es decir, el bloque 2. Por lo tanto el sentido de giro del sistema es el de las agujas del reloj.

Veámoslo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque:

M = Mm1,g + MN + MMg + Mm2,g

Mm1,g = R m1 g sen 90º = R m1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj) 

Mm2,g = R m2 g sen 90º = R m2 g (Sentido de las agujas del reloj) 

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = R m1 g + 0 + 0 + R m2 g = R g (m1 – m2)

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que m2 > m1.

En cuanto la polea comience a girar cambiarán las tensiones en los extremos de la cuerda y ya no serán iguales al peso del bloque correspondiente.

Rotación de la polea y traslación de los bloques:

MT1 = R T1 g sen 90º = R T1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj) 

MT2 = R T2 g sen 90º = R T2 g (Sentido de las agujas del reloj) 

Como ya se ha dicho anteriormente, el peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto:

MT2 > MT1

Momento del torque:

M = R T2 – R T1 (Sentido de las agujas del reloj) 

Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:

R T2 – R T1 = I α

Traslación de los bloques:

T1 – m1 = m1 a                 m2 g – T2 = m2 g    

Ahora se debe poner la aceleración de traslación a en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

dd/dt = (dφ/dt) R v = ω R

dv/dt = (dω/dt) a = α R

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

De todo lo anterior, resulta el siguiente sistema:

         Momento de inercia de una polea cuya masa está concentrada en la periferia, respecto a un eje perpendicular a su centro:

I = M R2

Sustituyendo en las anteriores expresiones:

Se puede observar que si la masa de la polea es cero, las tensiones en los extremos de la cuerda, durante el movimiento, son iguales.

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 04

 

Un cilindro macizo que va rodando sin deslizar comienza a subir por un plano inclinado de ángulo φ. Determina su aceleración de frenado.

 

 

Solución:

Debemos hallar una aceleración para lo cual utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración de frenado, o sea, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I a/R a = M R/I

La velocidad lineal del cilindro va hacia arriba. La velocidad angular tiene sentido contrario al de las agujas del reloj (El punto de contacto con el suelo no tiene velocidad porque en él se compensan las velocidades de traslación y rotación)

La aceleración lineal tiene sentido contrario a la velocidad lineal (frena). La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj (El punto de contacto con el suelo no tiene aceleración porque en él se compensan las aceleraciones)

Para crear un par que produzca aceleración angular el sentido de las agujas del reloj,  la fuerza de rozamiento deberá apuntar hacia arriba (En el mismo sentido que la traslación)

Rotación alrededor del c.d.m:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0                     Mm g cos φ = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

MN = R N sen 180º = 0

M = 0 + 0 + R Fr + 0 = R Fr (Sentido de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = R Fr R/ I = R2 Fr/I

Traslación del c.d.m:

N = m g cos φ

m g sen φFr = m a Fr = m g sen φ – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

a = R2 (m g sen φ – m a)/I

a I = R2 (m g sen φ – m a)

a I = R2 m g sen φ – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g sen φ

(I + R2 m) a = R2 m g sen φ

a = R2 m g sen φ/(I + R2 m)

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:

I = (1/2) m R2

Sustituyendo en la expresión de la aceleración tenemos que:

a = R2 m g sen φ/[(1/2) m R2 + R2 m]

a = R2 m g sen φ/(3/2) m R2

a = (2/3) g sen φ

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Cilindro 04

 

Una cuerda se enrolla en un cilindro de masa m y su extremo libre se ata al techo. El cilindro se deja caer partiendo del reposo y gira a medida que se desenrolla la cuerda. Calcular la aceleración del c. d. m  y la tensión de la cuerda.

 

 

Solución:

Debemos hallar una aceleración para lo cual utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m de un cilindro, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I (a/R) a = M R/I

Rotación alrededor del c. d. m:

Evidentemente el cilindro bajará girando en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Momento de las fuerzas (torque):

M = MT + Mm g

La fuerza m g (peso) está aplicada en el eje, luego su momento es nulo, es decir:

Mm g = 0

Momento de la tensión:

Según la figura:

MT = R T sen 90º = R T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Por tanto:

M = R T + 0 = R T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = T R2/I

Ahora se debe hallar el valor de la tensión.

Traslación del c. d. m:

m g – T = m a → T = m g – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.

a = (m g – m a) R2/I

a I = (m g – m a) R2

a I = R2  m g – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g

 a (I + R2 m) = R2 m g

a = R2 m g/(I + R2 m)

Para hallar la tensión de la cuerda debemos tener en cuenta que:

a = T R2/I

luego:

T = a I/R2 = [R2 m g/(I + R2 m)] I/R2

T = m g I/(I + R2 m)

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:

I = (1/2) m R2

Sustituyendo en las expresiones anteriores:

a = R2 m g/[(1/2) m R2 + R2 m)]

a = R2 m g/(3/2) m R2

a = (2/3) g

T = m g (1/2) m R2/[(1/2) m R2 + R2 m]

T = (1/2) m2 g R2/(3/2) m R2

T = (1/3) m g

 

 

 

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