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Teorema de conservación del momento cinético o angular 04

 

Un hombre de masa 70 kg se encuentra a 5 m del centro de una plataforma circular de masa 100 kg y radio 6 m, que gira con una velocidad angular de 15/π rpm. Se supone al hombre equivalente a una masa puntual.

a)  Halla el valor del momento de inercia total del sistema en la situación indicada.

b)  Si el hombre se mueve hacia el centro de la plataforma hasta situarse a una distancia de 2 m del centro, halla el momento de inercia en esta nueva situación.

c)  Halla el valor de la velocidad angular del sistema en esta nueva situación.

 

 

Solución:

Datos: m = 70kg; r0 = 5 m; M = 100 kg; R = 6 m; ω0 = 15/π rpm

a)  Teniendo en cuenta que los momentos de inercia respecto al mismo eje son aditivos resulta que:

I0 = IP + IH

Siendo IP el momento de inercia de la plataforma e IH el momento de inercia del hombre.

Momento de inercia de la plataforma:

IP = (1/2) M R2

Momento de inercia del hombre (se supone una masa puntual):

IH = m r02

Momento de inercia del conjunto:

I0 = (1/2) M R2 + m r02

I0 = (1/2)·100 kg·(6 m)2 + 70 kg·(5 m)2 = 3550 kg·m2

b)  Dato: r1 = 2 m

I1 = (1/2) M R2 + m r12

I1 = (1/2)·100 kg·(6 m)2 + 70 kg·(2 m)2 = 2080 kg·m2

c)  Conservación del momento angular:

L0 = L1

Momento angular inicial:

L0 = I0 (+ω0)

Sentido opuesto al de las agujas del reloj.

Momento angular final:

L1 = I1 ω

Sentido opuesto al de las agujas del reloj.

I0 ω0 = I1 ω

ω = (I0/I1) ω0

El sistema continuará girando en sentido contrario al de las agujas de reloj.

ω = (I0/I1) ω0

ω0 = (15/π)·(rev/min)·(2 π rad/rev)·(min/60 s) = 0,5 rad/s

ω = (3550 kg·m2/2080 kg·m2)· 0,5 rad/s = 0,85 rad/s

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Plano horizontal con polea 02

 

Un bloque de masa 10 kg se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal, siendo μ = 0,1. Una cuerda atada al bloque pasa alrededor de una polea de diámetro 15 cm y del otro extremo de la cuerda cuelga otro bloque de masa 10 kg. Se abandona el sistema desde el reposo y se observa que el bloque recorre 5 m en 2 segundos.

a)  ¿Cuál es el momento de inercia de la polea?

b)  ¿Cuál es la tensión en cada parte de la cuerda?

 

 

Solución:

Datos: m1 = 10 kg; μ = 0,1; d = 15 cm; m2 = 10 kg; y = 5 m; t = 2 s

a)  Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T2 = P2 = m2 g

Momento de las fuerzas (torque) sobre la polea:

M = MN + MMg + Mm2,g

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MMg = 0

Mm2,g = R m2 g sen 90º = R m2 g (Sentido de las agujas de reloj)

M = 0 + 0 + R m2 g = R m2 g (Sentido de las agujas de reloj)

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento:

Traslación de los bloques:

N1 = m1 g

Fr = μ N1 = μ m1 g

T1 – Fr = m1 a T1μ m1 g = m1 a

m2 g – T2 = m2 a

Rotación de la polea:

M = MN + MMg + MT1 + MT2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MMg = 0

MT1 = R T1 sen 90º = R T1 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

 MT2 = R T2 sen 90º = R T2 (Sentido de las agujas del reloj)

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto: MT2 > MT1.

M = 0 + 0 – R T1 + R T2 = R T2 – R T1 (Sentido de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R T2 – R T1 = I α

Relación entre traslación y rotación:

a = α R α = a/R

Luego:

R T2 – R T1 = I (a/R)

I = (R2 T2 – R2 T1)/a = R2·(T2 – T1)/a

T1 = μ m1 g + m1 a

T2 = m2 g – m2 a

I = R2·(m2 g – m2 a – μ m1 g – m1 a)/a

I = R2·[m2·(g – a) – m1·(μ g + a)]/a

Para hallar la aceleración (a) acudiremos a Cinemática:

Ecuaciones del movimiento:

v = v0 + a t            y = v0 t + (1/2) a t2

Como v0 = 0:

y = (1/2) a t2 a = 2y/t2

I = R2·{m2·[g – (2y/t2)] – m1·[μ g – (2y/t2)]}/(2y/t2)

Para saber si la expresión hallada es correcta recurriremos a la ecuación de dimensiones, teniendo en cuenta que: [I] = kg m2

[I] = m2 s2 kg (m/s2)/m = kg m2

Luego sí es correcta.

Sustituyendo en la expresión obtenida los debidos parámetros:

b)   

T1 = m1·(μ g + a)

Según el apartado anterior: 

a = 2y/t2 = 2·5 m/(2 s)2 = 2,5 m/s2

 T1 = 10 kg·[0,1·(9,8 m/s2) + (2,5 m/s2)] = 34,8 N

T2 = m2 (g – a)

T2 = 10 kg·[(9,8 m/s2) – (2,5 m/s2)] = 73 N

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 11

 

Calcula la aceleración angular que adquiere la doble polea al dejar en libertad el sistema mostrado en la figura.

Los dos bloques tienen la misma masa: m. La doble polea tiene radios R y R/2 y una masa 5m que está concentrada en la periferia.

 

 

Solución:

Datos: m1 = m2 = m; R1 = R/2; R2 = R; M = 5m

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque sobre la polea:

M = MN + MMg + Mm1g + Mm2g

El peso de la polea Mg y la normal N están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M1 = R1 m1 g sen 90º = R1 m1 g (sentido agujas del reloj)

M2 = R2 m2 g sen 90º = R2 m2 g (sentido agujas del reloj)

M = 0 + 0 – R1 m1 g – R2 m2 g

M = –R1 m1 g – R2 m2 g (sentido agujas del reloj)

Este momento hará que la doble polea comience a girar en el mismo sentido al de las agujas del reloj, cosa que era evidente.

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MMg + MT1 + MT2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

MT1 = R1 T1 g sen 90º = R1 T1 (sentido de las agujas del reloj)

MT2 = R2 T2 g sen 90º = R2 T2 (sentido de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R1 T1 + R2 T2

M = R1 T1 + R2 T2 (sentido agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R1 T1 + R2 T2 = I α

Traslación de los bloques:

Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.

–T1 + m1 g = m1 a1 T1 = m1 g – m1 a1

–T2 + m2 g = m2 a2 T2 = m2 g – m2 a2

Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre estas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

R1 T1 + R2 T2 = I α

T1 = m1 g – m1 a1

T2 = m2 g – m2 a2

a1 = α R1

a2 = α R2

Sustituyendo en la primera expresión:

R1 (m1 g – m1 a1) + R2 (m2 g – m2 a2) = I α

R1 (m1 g – m1 α R1) + R2 (m2 g – m2 α R2) = I α

R1 m1 g – m1 α R12 + R2 m2 g – m2 α R22 = I α

I α + m1 α R12 + m2 α R22 = R1 m1 g + R2 m2 g

(I + m1 R12 + m2 R22) α = R1 m1 g + R2 m2 g

α = (R1 m1 g + R2 m2 g)/(I + m1 R12 + m2 R22)

Según los datos del problema tenemos que:

 

 

 

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