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Teorema de conservación de la energía. Dos planos inclinados 03


Desde el punto A se lanza una pelota con velocidad v0. Siendo el coeficiente de rozamiento µ determina:

a)  La velocidad con que llegará a B.

b)  ¿Cuál será la velocidad mínima con la que deberá ser lanzada la pelota para que llegue a B? En este último caso, ¿cuál sería la velocidad de llegada a B?

 

 

Solución:

a)  Subida:

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida la pelota está sometida a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = µ N (h/sen α) cos 180º

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

Wr = –µ m g cos α (h/sen α)

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v0         hin = 0

Estado final:

vfin = v                   hfin = h

ΔEc = (1/2) m v2 – (1/2) m v02

ΔEp = m g h – 0 = m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g cos α (h/sen α) = (1/2) m v2 – (1/2) m v02 + m g h

–µ g cos α (h/sen α) = (1/2) v2 – (1/2) v02 + g h

Bajada:

La pelota baja por la otra rampa y llega al final con velocidad v’

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada la pelota está sometida a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = µ N (h/sen b) cos 180º

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

Wr = –µ m g cos b (h/sen b)

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v          hin = h

Estado final:

vfin = v’         hfin = 0

ΔEc = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g cos b (h/sen b) = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2 – m g h

–µ g cos b (h/sen b) = (1/2) v’2 – (1/2) v2 – g h

Combinando los resultados obtenidos en la subida y la bajada se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones de incógnitas v y v’.

–µ g h ctg α – µ g h ctg b = (1/2) v’2 – (1/2) v02

–2 µ g h ctg α – 2 µ g h ctg b = v’2 – v02

–2 µ g h (ctg α + ctg b) + v02 = v’2 

También se podía haber realizado teniendo en cuenta que la energía cinética que posee la pelota en el punto A, ha de ser igual a la energía cinética que tiene en el punto B más el trabajo de rozamiento en cada uno de los planos, es decir:

Ec (A) = Ec (B) + Wr,1 + Wr,2

(1/2) m v02 = (1/2) m v’2 + µ m g cos α (h/sen α) + µ m g cos b (h/sen b)

v02 = v’2 + 2 µ g h ctg α + 2 µ g h ctg b

v’2 = v02 – 2 µ g h ctg α – 2 µ g h ctg b

v’2 = v02 – 2 µ g h (ctg α + ctg b)

b)  A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, cabría pensar que bastaría con que v’ = 0 para que la pelota hubiera llegado de A hasta B, o sea:

pero…¡no es así!

Para que la pelota llegue a B tendrá que llegar primero a la cima y eso requiere una velocidad mínima de lanzamiento que se puede obtener a partir de los resultados de la primera parte del apartado a), haciendo v = 0.

–µ m g cos α (h/sen α) = 0 – (1/2) m v02 + m g h

–µ g h ctg α = –(1/2) v02 + g h

–µ g h ctg α = –(1/2) v02 + g h

(1/2) v02 = µ g h ctg α + g h

v02 = 2(µ g h ctg α + g h)

Con esta velocidad inicial la velocidad de llegada sería:

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Dos planos inclinados 02

 

Se deja caer una bolita por una rampa de longitud L y ángulo α. A continuación de la rampa hay otra de ángulo β. Determina cuánto subirá la bolita por esta rampa.

 

 

Solución:

Aplicando el  principio de conservación al plano inclinado en la bajada:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada la bolita está sometida a su peso y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Por tanto:

W = 0

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = 0          hin = L sen α

Ec (inicial) = 0                  Ep (inicial) = m g L sen α

Estado final:

vfin = v                   hfin = 0

Ec (final) = (1/2) m v2                 Ep (final) = 0

ΔEc = Ec (final) – Ec (inicial) = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = Ep (final) – Ep (inicial) = 0 – m g h = – m g L sen α

Haciendo las debidas sustituciones en la expresión en el principio de conservación:

0 = (1/2) m v2 – m g L sen α

Aplicando el  principio de conservación al plano inclinado en la subida:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida la bolita está sometida a su peso y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Por tanto:

W = 0

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v                 hin = 0

Ec (inicial) = (1/2) m v2

Ep = 0

Estado final:

vfin = 0         hfin = L’ sen b

Ec (final) = 0

Ep = m g L’ sen b

ΔEc = Ec (final) – Ec (inicial) = 0 – (1/2) m v2 =–(1/2) m v2

ΔEp = Ep (final) – Ep (inicial) = m g L’ sen b – 0 = m g L’ sen b 

         Haciendo las oportunas sustituciones en la expresión en el principio de conservación:

0 = –(1/2) m v2 + m g L’ sen

         Ahora se ha de resolver el sistema formado por las ecuaciones obtenidas en la subida y en la bajada.


L sen α = L’ sen b

Se puede observar que al final la bolita queda a la misma altura que al principio.

L’ = L sen α/sen b

Otra posible forma de resolver este problema es mediante el siguiente razonamiento:

La energía potencial inicial que posee la bolita, a consecuencia de su posición, ha de ser igual a la que posee al final, por tanto:

Epin = Epfin

         Ya hemos visto que la energía potencial inicial vale:

Epin = m g L sen α

 y la final es:

Epfin = m g L’ sen

 luego:

m g L sen α = m g L’ sen b

L sen α = L’ sen b

L’ = L sen α/sen b

 

 

 

Teorema de las fuerzas vivas. Energía cinética 14

 

Cuando una bola de 10 gramos de masa atraviesa un tablón macizo, su velocidad se reduce de 100 m/s a 50 m/s.

a)  ¿Cuánta energía cinética pierde la bola?

b)  ¿Qué fuerza ejerce el tablón sobre ella si es de 2,5 m de grosor?

 

 

Solución:

Datos: m = 10 g; v0 = 100 m/s; v = 50 m/s

a)  Estado inicial:

vin = v0

Ecin = (1/2) m v02

Estado final:

Vfin = v

Ecfin = (1/2) m v2

ΔEc = (1/2) m v2 – (1/2) m v02 = (1/2) m (v2 – v02)

ΔEc = (1/2)·0,010 kg·[(50 m/s)2 – (100 m/s)2]

ΔEc = –37,5 J

La bola ha tenido una pérdida de energía cinética de 37,5 J (el signo negativo indica que se trata de una pérdida)

b)  Dato: d = 2,5 m

Aplicando el teorema de las fuerzas vivas:

ΣW = ΔEc

El incremento de la energía cinética ya la hemos hallado en el apartado anterior.

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

Wr = Fr d cos 180º = –Fr d

Fr = –ΔEc/d

Fr = –(–37,5 J)/2,5 m = 15 N

 

 

 

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