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Plano inclinado y polea 04

 

PLANO INCLINADO Y POLEA 04,1

Dos cuerpos unidos por una cuerda se disponen en un plano inclinado según la figura, donde m1 = 6 kg y m2 = 10 kg, siendo el coeficiente de rozamiento con el plano 0,2 y a = 30°. Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda.

 

 

Solución:

Datos: m1 = 6 kg; m2 = 10 kg; μ = 0,2; a = 30°.

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO INCLINADO Y POLEA 04,2

Según la figura:

T1 = P1 sen α = m1 g sen α

T2 = P2 = m2 g

Como T2 > T1 (ya que m2 > m1 y 0 < sen α < 1), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que intervienen en el cuerpo m1:

PLANO INCLINADO Y POLEA 04,3

Según la figura:

Fuerzas  normales (perpendiculares):

N – P1 cos α = 0 N = m1 g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – P1 sen α – Fr = m1 a → T = m1 g sen α + Fr + m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m1 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T = m1 g sen α + μ m1 g cos α + m1 a

Fuerzas que intervienen en el cuerpo m2:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,3

Según la figura:

–T + P2 = m2 a T = m2 g – m2 a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T = m1 g sen α + μ m1 g cos α + m1 a

T = m2 g – m2 a

de donde:

m1 g sen α + μ m1 g cos α + m1 a = m2 g – m2 a

m1 a + m2 a = m2 g – m1 g sen α μ m1 g cos α

(m1 + m2) a = (m2m1 sen α μ m1 cos α) g

a = [m2 m1 (sen α + μ cos α)] g/(m1 + m2)

a = [10 kg – 6 kg·(sen 30º + 0,2·cos 30º)]·(9,8 m/s2)/(6 kg + 10 kg)

a = 3,65 m/s2

La aceleración del sistema es 3,65 m/s2

T = m2 (g – a)

T = 10 kg·[(9,8 m/s2) – (3,65 m/s2)] = 61,5 N

La tensión en la cuerda es 61,5 N

 

 

 

Plano horizontal y polea 06

 

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,1

Las masas A, B y C están enlazadas por cuerdas de masa despreciable. Entre las A y B y la mesa hay rozamiento cuyo coeficiente dinámico vale μ = 0,1.

a)  ¿Cuál ha de ser el valor de mC para que el conjunto se mueva con velocidad constante? ¿Cuánto valdrá la tensión de las cuerdas?

b)  ¿Cuánto valdrá la aceleración de las masas y la tensión de las cuerdas si mC = 2 kg?

Datos: mA = 5 kg, mC = 10 kg, g = 10 kg/s2

 

 

Solución:

Datos: μ = 0,1; mA = 5 kg; mC = 10 kg; g = 10 kg/s2

Para resolver este problema no se tendrá en cuenta la rotación de la polea, ya que el enunciado del mismo no dice nada sobre los datos de la misma y, por tanto, se considerará que su masa es despreciable, luego únicamente se estudiará la traslación de los bloques.    

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,2

Como las masas A, B y C no están sujetas a ninguna fuerza útil:

T1 = 0 y T2 = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T3 = mC g

luego al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

Las masas A y B se moverán hacia la derecha y la masa C bajará, ambas con la misma aceleración (módulo).

Nota:

Fuerzas útiles son las que actúan a favor del movimiento, luego las fuerzas internas y las de rozamiento no se consideran útiles.

a)  Como la velocidad ha de ser constante la aceleración es igual a cero.

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,3

Fuerzas normales:

NA – mA g = 0 NA = mA g

Fuerzas tangenciales:

T1 – Fr,A = mA a → T1 – Fr,A = 0

Fuerza de rozamiento:

Fr,A = μ NA = μ mA g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T1 – μ mA g = 0

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,4

Fuerzas normales:

NB – mB g = 0 NB = mB g

Fuerzas tangenciales:

T2 – T1 – Fr,B = mB a → T2 – T1 – Fr,B = 0

Fuerza de rozamiento:

Fr,B = μ NB = μ mB g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T2 – T1 – μ mB g = 0

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,5

mc g – T2 = mc a  mc g – T2 = 0

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T1μ mA g = 0 T1 = μ mA g

T2 – T1μ mB g = 0

mC g – T2 = 0  T2 = mC g

Sustituyendo los valores de T1 y T2 en la segunda ecuación, tenemos que:

mC g – μ mA g – μ mB g = 0

mC g = μ mA g + μ mB g

mC = μ mA + μ mB

mC = μ (mA + mB)

mC = 0,1·(5 kg + 10 kg) = 1,5 kg

Tensión de las cuerdas:

T1 = 0,1·5 kg·10 (m/s2) = 5 N

T2 = 1,5 kg·10 (m/s2) = 15 N

b)  Dato: mC = 2 kg

Del apartado anterior tenemos que:

T1 – μ mA g = mA a T1 = μ mA g + mA a

T2 – T1 – μ mB g = mB a

mC g – T2 = mC a  T2 = mC g – mC a

Sustituyendo los valores de T1 y T2 en la segunda ecuación, tenemos que:

mC g – mC a – μ mA g – mA a – μ mB g = mB a

mC g – μ mA g – μ mB g = mB a + mC a + mA a

(mCμ mAμ mB) g = (mB + mC + mA) a

a = [(mCμ mAμ mB) g]/(mB + mC + mA)

a = [(2 kg – 0,1·5 kg – 0,1·10 kg)·10 (m/s2)]/(10 kg + 2 kg + 5 kg)

a = 0,29 m/s2

T1 = (μ g + a) mA = [0,1·(10 m/s2) + (0,29 m/s2)]·5 kg = 6,45 N

T2 = mC (g – a) = 2 kg·[(10 m/s2) – (0,29 m/s2)] = 19,42 N

Si el resultado de la aceleración hubiera sido negativo, significaría que el rozamiento de las masas A y B impiden el movimiento.

 

 

 

Plano horizontal y polea 05

 

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 05

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda, si m1 = 30 kg, m2 = 5 kg y μ = 0,1. Repite los cálculos tomando μ = 0,2.

 

 

Solución:

Datos: m1 = 30 kg, m2 = 5 kg

Para resolver este problema no se tendrá en cuenta la rotación de la polea, ya que el enunciado del mismo no dice nada sobre los datos de la polea y, por tanto, se considerará que su masa es despreciable, luego únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,1

Como el bloque 1 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T1 = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T2 = P2 = m2 g

luego al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Nota:

Fuerzas útiles son las que actúan a favor del movimiento, luego las fuerzas internas y las de rozamiento no se consideran útiles.

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 05, 1

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – P1 = 0 N = m1 g

Fuerzas tangenciales:

T – Fr = m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m1 g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – μ m1 g = m1 a

Bloque 2:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,3

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P2 = m2 a –T + m2 g = m2 a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T = μ m1 g + m1 a

T = m2 g – m2 a

de donde:

μ m1 g + m1 a = m2 g – m2 a

m1 a + m2 a = m2 g – μ m1 g

(m1 + m2) a = (m2 – μ m1) g

a = (m2 – μ m1) g/(m1 + m2)

T = m2 g – m2 [(m2μ m1) g/(m1 + m2)]

T = m2 g {1 – [(m2μ m1)/(m1 + m2)]}

T = m2 g {[(m1 + m2) – (m2μ m1)]/(m1 + m2)}

T = [m2 g (m1 + m2 – m2 + μ m1)]/(m1 + m2)

T = [m2 g (m1 + μ m1)]/(m1 + m2)

T = [m1 m2 g (1+ μ)]/(m1 + m2)

Si μ = 0,1:

a = (5 kg – 0,1·30 kg)·(9,8 m/s2)/(30 kg + 5 kg)

a = 0,56 m/s2

T = [30 kg·5 kg·(9,8 m/s2)·(1 + 0,1)]/(30 kg + 5 kg)

T = 46,2 N

Si μ = 0,2:

a = (5 kg – 0,2·30 kg)·(9,8 m/s2)/(30 kg + 5 kg)

a = – 0,28 m/s2

El signo negativo indica que el sistema se traslada hacia la izquierda, es decir, que el bloque que cuelga de la polea sube, cosa que es imposible porque no hay ninguna fuerza que tire hacia la izquierda, por tanto el sistema está parado.

Lo que ocurre es que P2 no es suficientemente grande para vencer el rozamiento que existe entre P1 y el plano.

En este caso:

T = 5 kg·(9,8 m/s2) = 49 N

Mientras que:

Fr = 0,2·30 kg·(9,8 m/s2) = 58,8 N

 

 

 

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