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Plano inclinado sin rozamiento 10

 

Un cuerpo cae por un plano inclinado, deslizándose sin rozamiento. Determina la inclinación del plano sabiendo que el cuerpo tarda en llegar al suelo, el doble de lo que tardaría si cayera libremente desde el mismo punto de partida.

 

 

Solución:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 1

El tiempo, t1, que tarda el cuerpo en llegar al suelo en caída libre, es el doble que el tiempo, t2, que tarda en bajar deslizándose por el plano inclinado, es decir: t2 = 2 t1. 

Tiempo invertido en la caída vertical:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 2

Ecuación del movimiento:

y = 0 – (1/2) g t12 t12 = –2 y/g

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 3

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 4

Cuando llega al suelo y = –h, sustituyendo en la expresión anterior:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 5

Tiempo invertido en el descenso por el plano inclinado:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 6

Tiempo invertido en el descenso por el plano inclinado:

Ecuación del movimiento:

x2 = (1/2) a t22

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 7

Cuando llega al suelo, x2 = L, siendo L la longitud el plano inclinado. Sustituyendo en la expresión anterior:

L = (1/2) a t22 t22 = 2 L/a

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 8

Cálculo de la aceleración.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 9

Evidentemente, la única posibilidad de movimiento es que el bloque baje.     

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 05,2

Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Aplicación:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 10

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0  N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α = m a  g sen α = a

Sustituyendo  en la ecuación de t2:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 11

Evidentemente, los ángulos descartados no pueden ser los de un plano inclinado.

 

 

Plano inclinado sin rozamiento 09

 

Un bloque de 20 kg se encuentra en reposo sobre un plano liso, inclinado 45º sobre la horizontal. Calcula su aceleración cuando se le aplique una fuerza paralela al plano hacia arriba de valor:

a)  200 N.

b)  100 N.

 

 

Solución:

Datos: m = 20 kg: a = 45º

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL SIN ROZAM 09, 1

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL SIN ROZAM 09, 2

Fuerzas normales:

N – P cosa = 0

Fuerzas tangenciales:

F – P sena = m a

a)  Dato: F = 200 N

Aplicando la segunda expresión:

a = (F – m g sena)/m

PLANO INCL SIN ROZAM 09, 3

El bloque sube con una aceleración de 3,07 m/s2.

b)  Datos: F = 100 N

PLANO INCL SIN ROZAM 09, 4

El bloque baja (el signo negativo lo indica) con una aceleración de 1,93 m/s2.

 

 

 

Plano inclinado sin rozamiento 08

 

PLANO INCL SIN ROZAM 08, 1

Siendo F1 = m g, F2 = 0,5 m g, calcula la aceleración con que baja el bloque por el plano inclinado.

 

 

Solución:

Datos: F1 = m g, F2 = 0,5 m g

Como el enunciado del problema no dice nada sobre fuerzas de rozamiento o coeficiente del mismo, podemos suponer que el plano es liso y, por tanto, sin rozamiento.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL SIN ROZAM 08, 2

Descomposición de las fuerzas:

Como no hay rozamiento prescindiremos de las fuerzas normales con el fin de dar mayor claridad a la figura.

PLANO INCL SIN ROZAM 08, 3

Los ángulos α son iguales por tener sus lados paralelos.

Aplicación:

PLANO INCL SIN ROZAM 08, 4

Según la figura:

F1 sen α + m g cos α – F2 cos α = m a

a = (F1 sen α + m g cos α – F2 cos α)/m

a = (m g sen α + m g cos α – 0,5 m g cos α)/m

a = g sen α + g cos α – 0,5 g cos α

a = g sen α + 0,5 g cos α

a = (sen α + 0,5 cos α) g

a = (1/2) (2 sen α + cos α) g

 

 

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