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Rodadura del sólido rígido. Poleas 08

 

Determina la aceleración angular de la polea cuando se deje en libertad el sistema.

Los radios de la doble polea son: r, 3·r/2 y su masa, m, está concentrada en la periferia.

 

 

Solución:

Predicción del sentido del movimiento:

Momento de F:

MF =  (3·r/2)·m g = (3/2)·r m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Momento de T:

MT = r·2 m g = 2 r m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

Pero como MT es mayor que MF, la polea empezará a girar en sentido antihorario.

Momentos de las fuerzas (torque):

T·r – (3/2) r m g = I α

Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:

I = m·[(3/2)·r]2 = (9/4) m r2

Por lo tanto:

T·r – (3/2) r m g = (9/4) m r2 α

T – (3/2) m g = (9/4) m r α

Fuerzas que actúan sobre el bloque:

2 m g – T = m a → T = 2 m g – 2 m a

Relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular:

a = α r

Luego:

T = 2 m g – 2 m α r

2 m g – 2 m α r – (3/2)·m g = (9/4) m r α

2 g – 2 α r – (3/2) g = (9/4) r α

(9/4) r α + 2 α r = (1/2) g

(17/4) r α = (1/2) g

α  = 4 g/34 r = 2 g/17 r

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 05

 

Por un plano inclinado se dejan rodar sin deslizar dos esferas de igual masa y radio, pero con distinto momento de inercia. Discutir cuál de ellas llega antes abajo admitiendo que el c. d. m de ambas esferas está en su centro geométrico.

 

 

Solución:

De los dos cuerpos llegará antes aquél cuyo c. d. m baje con mayor aceleración y para hallar dicha aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I a/R a = M R/I

La única fuerza útil es m g sen φ, por tanto el cuerpo bajará por la rampa y girará en el sentido de las agujas del reloj.

La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a m g sen φ.

Rotación alrededor del c. d. m:

Rotación alrededor del c.d.m:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0                     Mm g cos φ = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

MN = R N sen 180º = 0

 M = 0 + 0 + R Fr + 0 = R Fr (Sentido de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = R Fr R/ I = R2 Fr/I

Traslación del c. d. m:

N = m g cos φ

m g sen φFr = m a Fr = m g sen φ – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.

a = R2 (m g sen φ – m a)/I

a I = R2 (m g sen φ – m a)

 a I = R2 m g sen φ – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g sen φ

(I + R2 m) a = R2 m g sen φ

a = R2 m g sen φ/(I + R2 m)

La aceleración de traslación será mayor para la esfera que tenga menor momento de inercia y será ésta la que llegue antes.

Nota:

Una de las esferas podría ser homogénea de radio R con densidad, por tanto:


d = m/V m = d V

V = (4/3) π R3 m = (4/3) π R3 d

La otra esfera podría ser una esfera de radio R y densidad d que contiene una subesfera concéntrica de radio R' y densidad d’, luego:


m = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d

Para que ambas esferas tengan igual masa deberá cumplirse que:

(4/3) π R3 d = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d

R3 d = R’3 d’ + (R – R’)3 d

R3 d – R’3 d’ = (R – R’)3 d

 

 

 

Volante de inercia o volante motor 02

 

En una rueda de radio 50 cm, con un eje horizontal que pasa por su centro, se ha enrollado una cuerda de la que cuelga un cuerpo de masa 5 kg. La rueda está formada por un anillo uniforme de 5 kg y varios radios de masa despreciable Calcula:

a)  La tensión de la cuerda

b)  Tiempo que tarda en desenrollarse 1 m de cuerda

 

 

Solución:

Datos: R = 50 cm; m = 5 kg; M = 5 kg

a)  Sistema en equilibrio. Fuerzas que intervienen. 

Evidentemente la polea comenzará a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj. En cuanto la polea comience a girar cambiará la tensión en el extremo de la cuerda y ya no será igual al peso del bloque.

Momento de las fuerzas (torque):

M = MN + MT + Mm g

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir: MN = 0, Mm g = 0.

MT = R T sen 90º = R T (Sentido contraria al de las agujas del reloj)

M = R T (Sentido contraria al de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:

R T = I α

Traslación del bloque:

m g – T = m a 

Relación entre traslación y rotación:

a = α R

Combinando las expresiones anteriores resulta un sistema con tres incógnitas: T, a, α

R T = I α

m g – T = m a 

a = α R

Despejando α de la anterior expresión:

α = a/R → R T = I a/R → a = R2 T/I

T = m g – m a

 a = R2 m (g – a)/I a I = R2 m g – a R2 m

a I + a R2 m = R2 m g a (I + R2 m) = R2 m g

a = R2 m g/(I + R2 m)

T = m g – [R2 m2 g/(I + R2 m)]

T = [m g (I + R2 m) – R2 m2 g]/(I + R2 m)

T = (m g I + R2 m2 g – R2 m2 g)/(I + R2 m)

T = m g I/(I + R2 m)

Momento de inercia de un disco, polea, rueda respecto a un eje perpendicular por su centro (masa concentrada en la periferia):

I = M R2

Sustituyendo en las expresiones de la aceleración y de la tensión:

a = R2 m g/(M R2 + R2 m) = m g/(M + m)  

T = m g M R2 /(M R2 + R2 m) = m g M/(M + m) 

a = 5 kg·(9,8 m/s2)/(5 kg + 5 kg) = 4,9 m/s2

T = 5 kg·(9,8 m/s2)·5 kg/(5 kg + 5 kg) = 24,5 N

b)  Se desenrolla 1 m de cuerda cuando el cuerpo baja 1 m.

Ecuaciones del movimiento del bloque: 

v = –a t                 y = –(1/2) a t2

Datos: y1 = –1 m, a = 4,9 m/s2 (del apartado anterior)

y1 = –(1/2) a t12

 

 

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