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Momento de inercia 04

 

En los vértices de un rectángulo de dimensiones a, b (a > b) están colocadas masas de valor m. Halla el momento de inercia del conjunto respecto a:

a)  Un eje que pasa por el lado mayor.

b)  Un eje que pasa por el lado menor.

c)  Un eje que coincide con la diagonal.

 

 

Solución:

a)    

I = I1 + I2 + I3 + I4

I = m·0 + m·0 + m·b2 + m·b2

I = 2 m b2

b)     

I = I1 + I2 + I3 + I4

I = m·0 + m·a2 + m·a2 + m·0

I = 2 m a2

c)      

I = I1 + I2 + I3 + I4

I = m·d2 + m·0 + m·d2 + m·0

I = 2 m d2

Cálculo de la distancia (d) al eje:

 

 

 

Fuerza elástica 08

 

Un cuerpo de 2 hg se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal de 1,6 m de altura y en contacto con un muelle cuya constante elástica vale 4,5 kp/cm y que está comprimido 10 cm. Se suelta el muelle y el cuerpo recorre 1,5 m hasta que llega al extremo de la mesa y continua después un movimiento parabólico hasta llegar al suelo.

a)  Calcula la velocidad con que choca contra el suelo.

b)  En el instante que el cuerpo abandona el extremo de la mesa, se lanza un carrito por el suelo con el objetivo de que el cuerpo caiga sobre el carrito, ¿con qué velocidad constante debe moverse el carrito para conseguirlo?

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

 

Solución:

Datos: m = 2 hg; v0 = 0; h = 1,6 m; k = 4,5 kp/cm; Δx = 10 cm; d = 1,5 m; μ = 0,2

Antes de realizar el problema pasaremos al sistema internacional las unidades que no lo están.

m = 2 hg·(kg/10 hg) = 0,2 kg

k = (4,5 kp/cm)·(9,8 N/kp)·(100 cm/m) = 4410 N/m

Δx = 10 cm·(m/100 cm) = 0,10 m

a)  Para saber la velocidad con la que el cuerpo llega al suelo debemos tener en cuenta que la segunda parte del recorrido, cuando abandona la superficie de la mesa, es un tiro horizontal.

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0,1                 vy = –g t

x = v0,1· t               y = –(1/2) g t2

No hay ángulo de tiro porque la velocidad inicial es paralela al eje X.

Vector velocidad:

v = vx i + vy j

Módulo del vector velocidad:

Tiempo que tarda en llegar al suelo:

h = –(1/2) g t2 → t2 = –2h/g

Ahora tenemos que averiguar la velocidad con la que el cuerpo sale despedido de la superficie de la mesa (v0,1) debiendo tener en cuenta que se trata de un M.R.U.A.

Ecuaciones del movimiento:

v2 = v0 + a t’ → v0,1 = 0 + a t’

x2 = v0 t’ + (1/2) a t’2 → d = 0 + (1/2) a t’2

Tiempo que tarda el cuerpo en recorrer la superficie de la mesa (t’):

t’2 = 2d/a

Para hallar el valor de la aceleración acudiremos a Dinámica.

Fuerzas que actúan sobre el bloque:

Fuerzas normales:

N – m g = 0 → N = m g

Fuerzas tangenciales:

Fe – Fr = m a

Fuerza elástica:

Fe = k Δx

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

k Δx – μ m g = m a

a = (k Δx/m) – μ g

Velocidad con la que el cuerpo choca con el suelo:

b)  Para que el cuerpo sea recogido por el carrito la velocidad de este y la que lleva horizontalmente el cuerpo al abandonar el extremo de la mesa, deberán ser iguales, es decir:

v (carrito) = v0,1 = 81,3 m/s

 

 

Fuerza elástica 07

 

El sistema de la figura asciende por la rampa con velocidad constante. Calcula la fuerza F necesaria y la deformación del muelle.

Datos: Masas: m1, m2. Constante del muelle: k. Coeficiente de rozamiento: μ 

 

 

Solución:

Datos: m1, m2, k, μ. Como la velocidad es constante: a = 0

Como el enunciado no dice nada, se supone que el muelle no tiene masa. Luego la fuerza elástica es la misma para los dos extremos.

Fuerzas que intervienen en el bloque 1:

Descomposición de fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N1 = m1 g cos α

Fuerzas tangenciales:

F – m1 g sen α – Fr,1 – Fe = 0

Fuerza de rozamiento:

Fr,1 = μ N1 = μ m1 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F – m1 g sen α – μ m1 g cos α – Fe = 0

Fuerzas que intervienen en el cuerpo 2:

Descomposición de fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N2 = m2 g cos α

Fuerzas tangenciales:

Fe – m2 g sen α – Fr,2 = 0

Fuerza de rozamiento:

Fr,2 = μ N2 = μ m2 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

Fe – m2 g sen α – μ m2 g cos α = 0

Fe = m2 g sen α + μ m2 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales del primer cuerpo tenemos que:

F – m1 g sen α – μ m1 g cos α – m2 g sen α – μ m2 g cos α  = 0

F = m1 g sen α + μ m1 g cos α + m2 g sen α + μ m2 g cos α  

F = m1 g (sen α + μ cos α) + m2 g (sen α + μ cos α)

F = (m1 + m2) g (sen α + μ cos α)

Para hallar la deformación podemos utilizar, por ejemplo, la expresión de la fuerza elástica obtenida del segundo cuerpo, teniendo en cuenta que la fuerza elástica es:

Fe = k d

k d = m2 g sen α + μ m2 g cos α

d = m2 g (sen α + μ cos α)/k

 

 

 

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