El Sapo Sabio

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De acuerdo con la figura, calcula:

a)  Posición y velocidad para t = 8 segundos.

b)  Espacio recorrido de 0 a 8 segundos.

Masa del cuerpo: 4 kg.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 40 m/s; F = 40 N; x₀ = 20 m; m = 4 kg

a)  Dato: t = 8 s.

Ecuaciones del movimiento según Cinemática:

v = v₀ + a t            x = x₀ + v₀ t + (1/2) a t²

Para hallar la posición utilizaremos la segunda ecuación.

x = 20 m – 40 (m/s)·8 s + (1/2)·a·(8 s)²

Podemos ver que necesitamos hallar el valor de la aceleración para averiguar el valor de la posición, para lo cual utilizaremos Dinámica.

F = m a → a = F/m

a = 40 N/4 kg = 10 m/s²

x = 20 m – 40 (m/s)·8 s + (1/2)·10 (m/s²)·(8 s)²

x = 20 m – 320 ms + 320 m = 20 m

El cuerpo se encuentra a 20 metros del origen.

Velocidad que el cuerpo lleva a los 8 segundos: 

     v = – 40 (m/s) + 10 (m/s²)·8 s = – 40 (m/s) + 80 (m/s)  

 

 v = 40 m/s

 

 v = 40 El primero de los anteriores resultados, aparentemente, parece indicar que el cuerpo no se ha movido de donde se encontraba, cosa que no puede ser ya que posee una velocidad inicial y, además, actúa sobre él una fuerza que le comunica una aceleración. Pero el segundo resultado nos aclara lo que ha sucedido. Inicialmente el cuerpo se movía hacia el origen (por ese motivo el signo de la velocidad es negativo), y a consecuencia de que la aceleración se opone al movimiento, llega un momento en el que el cuerpo se para y después empieza a moverse hacia la derecha (por lo cual la velocidad sale positiva).

b)  Datos: t₀ = 0, t = 8 s.

Para hallar el espacio recorrido, prescindiremos del espacio inicial y deberemos tener en cuenta lo que se ha comentado en el apartado anterior, es decir, que el cuerpo primero se mueve hacia la izquierda y después hacia la derecha, para lo cual necesitaremos saber cuánto tiempo debe trascurrir para que el cuerpo se pare.

 0 = –40 (m/s) + 10 (m/s²)·(t₁ – 0)   → t₁ = 40 (m/s)/10 (m/s²) = 4 s

 O sea, que durante 4 segundos se mueve hacia el origen y después, durante los otros cuatro segundos, después de pararse, se aleja del origen.

 

Δx₁ = –40 (m/s)·4 s + (1/2)·10 (m/s²)·(4 s)²      

 Δx₁ = –160 m + 80 m = –80 m

El signo negativo confirma que el cuerpo se mueve hacia la izquierda.

Δx₂ = 0 + (1/2)·10 (m/s²)·(4 s)² = 80 m

Espacio recorrido en 8 s:

Δx = 80 m + 80 m = 160 m     

El cuerpo ha recorrido un total de 160 metros.

 

 

 

 

 

Una máquina de un tren de masa 1000 kg arrastra dos vagones de masas 500 kg cada uno. El coeficiente de rozamiento de la máquina vale 0,2 y el coeficiente de rozamiento de cada uno de los vagones vale 0,1, la fuerza ejercida por la máquina es de 20000N.

Calcular:

a)  La aceleración con que se mueve el sistema.

b)  Las tensiones.

 

Solución:

 

Datos: m₁ = 1000 kg; m₂ = m₃ = 500 kg; μ₁ = 0,2; μ₂ = μ₃ = 0,1; F = 20000 N

 

Fuerzas que intervienen:

 

 

a)  Fuerzas tangenciales:

 

F – T₁ – F_r1 + T₁ – T₂ – F_r2 + T₂ – F_r3 = (m₁ + m₂ + m₃) a

 

F – F_r1 – F_r2 – F_r3 = (m₁ + m₂ + m₃) a

 

Fuerza de rozamiento:

 

F_r = μ N

 

Realizando las debidas sustituciones:

 

F – μ₁ N₁ – μ₂ N₂ – μ₃ N₃ = (m₁ + m₂ + m₃) a

 

F – μ₁ P₁ – μ₂ P₂ – μ₃ P₃ = (m₁ + m₂ + m₃) a

 

F – μ₁ m₁ g – μ₂ m₂ g – μ₃ m₃ g = (m₁ + m₂ + m₃) a

 

a = (F – μ₁ m₁ g – μ₂ m₂ g – μ₃ m₃ g)/(m₁ + m₂ + m₃)

 

 

b)  Para hallar T₁ utilizaremos las fuerzas que actúan sobre la máquina:

 

F – T₁ – F_r1 = m₁ a

 

T₁ = F – m₁ a – F_r1

 

T₁ = F – m₁ a – μ₁ m₁ g

 

T₁ = 20000 N – 1000 kg·8,53 (m/s²) – 0,2·1000 kg·9,8 (m/s²)

 

T₁ = 20000 N – 8530 N – 1960 N = 9510 N

 

Ahora, utilizaremos las fuerzas que actúan sobre el último vagón:

 

T₂ – F_r3 = m₃ a

 

T₂ = F_r3 + m₃ a

 

T₂ = μ₃ m₃ g + m₃ a

 

T₂ = 0,1·500 kg·9,8 (m/s²) + 500 kg·8,53 (m/s²)

 

T₂ = 490 N + 4265 N = 4755 N

 

Podemos ver si los valores de las tensiones son correctos, comprobando si verifican una tercera ecuación que se puede obtener, usando las fuerzas que actúan sobre el primer vagón.

 

T₁ – T₂ – F_r2 = m₂ a

 

T₁ – T₂ – μ₂ m₂ g = m₂ a

 

T₁ – T₂ – μ₂ m₂ g = 9510 N – 4755 N – 490 N = 4265 N

 

m₂ a = 500 kg·8,53 (m/s²) = 4265 N

 

Los resultados de ambos miembros de la ecuación son iguales, por tanto, la ecuación se verifica y las soluciones de las tensiones obtenidas son correctas.

 

 

 

Respecto al sistema que viene representado en la siguiente figura:

 

 

Halla:

 

a)  La aceleración con que se mueve el sistema.

 

b)  La tensión de cada una de las cuerdas.

 

Datos: m₁ = 10 kg; m₂ = 20 kg; m₃ = 40 kg; F = 140 N

 

Solución:

 

Datos: m₁ = 10 kg; m₂ = 20 kg; m₃ = 40 kg; F = 140 N

 

Supondremos que no existe rozamiento entre los cuerpos y la superficie por donde se mueven, ya que en el enunciado del problema no dice nada sobre ello.

 

Fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos:

 

 

a)  Fuerzas horizontales:

 

F – T₂ + T₂ – T₁ + T₁ = (m₁ + m₂ + m₃) a

 

140 N = 70 kg · a

 

a = 140 N/70 kg = 2 m/s²

 

b)  Para hallar T₁, utilizaremos las fuerzas horizontales que actúan sobre el cuerpo 1:

 

T₁ = m₁ a = 10 kg · 2 (m/s²) = 20 N

 

Para averiguar T₂, haremos lo mismo pero con el cuerpo 3:

 

F – T₂ = m₃ a → T₂ = F – m₃ a = 140 N – 40 kg · 2 (m/s²) = 60 N