Bicicletas de montaña

Archivo de la categoría ‘MAGNITUDES VECTORIALES’

Operaciones con vectores 13

 

Dado los vectores a = 3 ij + 2 k y b = i + j – 2 k:

a)  Represéntalos gráficamente.

b)  Calcula el ángulo que forman.

c)  Determina el área del paralelogramo que forman

d)  Halla un vector unitario perpendicular al plano que forman los vectores a y b.

 

 

Solución:

a) 

MAGNITUDES VECTORIALES 13, 1

b)  Para hallar el ángulo (α) que forman ambos vectores utilizaremos su producto escalar.

a·b = a b cos α

MAGNITUDES VECTORIALES 13, 2

c)  El módulo del producto vectorial de los vectores a y b es el área (A) del paralelogramo que forman ambos vectores, es decir:

A = |ab|

Producto vectorial:

MAGNITUDES VECTORIALES 13, 3

Área del paralelogramo:

 MAGNITUDES VECTORIALES 13, 4

d)  El resultado del producto vectorial de dos vectores es otro vector (c) perpendicular a los anteriores. O sea:

c = ab

MAGNITUDES VECTORIALES 13, 5

c = 0 i + 8 j + 4 k

Como queremos que sea unitario:

MAGNITUDES VECTORIALES 13, 6

 

 

 

Operaciones con vectores 12

 

Al vector u = 2i + 3jk sumamos el vector λv, siendo:

 

λv = λ·(2 j – 3 k), (λ es un número real)

 

Determina el valor de λ para que u + λv sea perpendicular al vector:

 

w = –5 i + 2 jk

 

 

Solución:

Para que el vector u + λv sea perpendicular al vector w se debe cumplir que su producto escalar sea igual a cero, es decir:

 

(u + λvw = 0

 

Por tanto, lo primero que hallaremos es el valor de u + λv.

 

u + λv = 2i + 3jkλ (2j – 3k) = 2i + (3 + 2λ) j – (1 + 3λ) k

 

Producto escalar:

 

[2i + (3 + 2λ) j – (1 + 3λ) k]·(–5i + 2j k) = 0

–10 + 6 + 4λ + 1 + 3λ = 0

7λ = 3 →λ = 3/7

 

 


Operaciones con vectores 11

 

Dados los vectores A = Axi + Ayj + Azk y B = Bxi + Byj + Bzk:

a)  ¿Qué condición deben cumplir A y B para que su producto escalar sea igual a su producto vectorial?

b)  ¿Qué ángulo forman el vector S = A + B con el vector V = A´B?

 

 

Solución:

a)  El resultado del producto escalar es un número o escalar, mientras que el resultado delproducto vectorial es un vector. Por tanto, no puede ser igual ambos productos.

b) 

MAGNITUDES VECTORIALES 11

El vector V es perpendicular al plano engendrado por los vectores A y B, por lo tanto también lo será al vector S ya que éste pertenece a dicho plano, luego α = 90º.

 

 


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