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Propagación de errores 20

 

Halla el valor en newtons, expresado correctamente, de la fuerza centrípeta que actúa sobre un cuerpo cuya masa es de 3,25 kg, el cual se mueve uniformemente describiendo una circunferencia de 25,7 cm de radio (ambos valores expresados con todas sus cifras correctas), si la velocidad que lleva, medida varias veces, ha dado los siguientes resultados: 34,3; 33,8; 35,2; 33,3; 34,1 y 32,8 cm/s.

 

 

Solución:

Datos: m = 3,25 kg; R = 25,7 cm

 

Fuerza centrípeta:

 

F = m v2/R

 

Primero hallaremos la medida de la velocidad:

PROPAG ERRORES

Desviación media:

 

D = 3,70/6 = 0,62

 

Error absoluto:

 

Ea = ±0,6 cm/s

 

Expresión de la velocidad:

 

v = (33,9 ± 0,6) cm/s

 

Valor de la fuerza centrípeta:

 

F = 3,25 kg·(0,339 m/s)2/0,257 m = 1,45328 N

 

Error relativo:

 

ln F = ln (m v2/R) = ln m + 2·ln v – ln R

dF/F = (dm/m) + 2·(dv/v) – (dR/R)

Er (F) = Er (m) + 2·Er (v) + Er (R)

 

A pesar de que al diferenciar se ha obtenido un signo negativo, lo hemos cambiado por un signo positivo, ya que al no saber el sentido de los errores se cogerá siempre el caso más desfavorable.

 

Er (F) = (0,01 kg/3,25 kg) + 2·[0,6 (cm/s)/33,9 (cm/s)] + (0,1 cm/27,5 cm)

Er (F) = 0,042

 

Error absoluto:

 

Ea (F) = 0,042·1,45328 N = 0,06 N

 

Medida de la fuerza centrípeta:

 

F = (1,45 ± 0,06) N

 

 


Propagación de errores 19

 

Si m = (1,75 ± 0,05) cm y n = (3,51 ± 0,09) cm, calcula:

a)  m + n

b)  m·n

c)  m/v

 

 

Solución:

Datos: m = (1,75 ± 0,05) cm; n = (3,51 ± 0,09) cm

a)  S = m + n

 S = 1,75 cm + 3,51 cm = 5,26 cm

 

El error absoluto de una suma es igual a la suma de los errores absolutos de las medidas, por tanto:

 

Ea (S) = 0,05 cm + 0,09 cm = 0,14 cm

 

El error absoluto únicamente puede tener una cifra distinta de cero, luego:

 

Ea (S) = 0,1 cm

 

Expresión de la suma:

 

S = m + n = (5,3 ± 0,1) cm

 

El valor del resultado ha de tener el mismo número de decimales que el error absoluto o el mismo número de ceros si se trata de un entero.

b)  P = m·n

P = 1,75 cm·3,51 cm = 6,1425 cm2

 

En el caso de un producto o un cociente es más fácil, primero, hallar el error relativo (que será la suma de los errores relativos de las medidas) y, después, el error absoluto.

 

Error relativo:

 

ln P = ln (m·n) = ln m + ln n

dP/P = (dm/m) + (dn/n)

Er (P) = Er (m) + Er (n)

Er (P) = (0,05 cm/1,75 cm) + (0,09 cm/3,51 cm) = 0,054

 

Error absoluto:

 

Ea = 6,1425 cm2·0,054 = 0,332 cm2

Ea = 0,3 cm2

 

Expresión del producto:

 

P = m·n = (6,1 ± 0,3) cm2

c)  C = m/n

C = 1,75 cm/3,51 cm = 0,499

 

 

Error relativo:

 

ln C = ln (m/n) = ln m – ln n

dC/C = (dm/m) – (dn/n)

Er (C) = Er (m) + Er (n)

 

A pesar de que al diferenciar se ha obtenido un signo negativo, lo hemos cambiado por un signo positivo, ya que al no saber el sentido de los errores se cogerá siempre el caso más desfavorable.

 

Er (C) = (0,05 cm/1,75 cm) + (0,09 cm/3,51 cm) = 0,054

 

Error absoluto:

 

Ea = 0,499·0,054 = 0,026946

Ea = 0,03

 

Expresión del cociente:

 

C = m/n = 0,50 ± 0,03

 

 


Propagación de errores 18

 

Determina el volumen de un cilindro del cual se ha hallado su longitud, utilizando un pie de rey,  obteniéndose como promedio el valor h = (122,5 ± 0,3) mm, h’ = 0,2% y su diámetro, medido con un palmer, vale: D = (10,62 ± 0,07) mm, D’ = 0,7%.

 

 

Solución:

Datos: h = (122,5 ± 0,3) mm, h’ = 0,2%; D = (10,62 ± 0,07) mm, D’ = 0,7%

Volumen del cilindro:

V = π (D/2)2 h = (1/4) π D2 h

PROPAG ERRORES 18, 1

Error relativo:

ln V = ln [(1/4) π D2 h] = ln (1/4) + ln π + 2 ln D + ln h

PROPAG ERRORES 18, 2

Er (V) = Er (π) + 2 Er (D) + Er (h)

PROPAG ERRORES 18, 3

Error absoluto:

Ea = 10849,08389 mm3·0,016 = 173,6 mm3

Expresión del volumen

V = (10,8 ± 0,2) cm3

 

 


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