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Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 17 (2ª parte)

 

Por Energía:

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida el bloque está sometido a la fuerza F, a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

SW = Wmg + WF + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Pero, según ya hemos visto, Fr = μ N = μ (m g cos α – F cos α) luego:

Wr = –μ (m g cos α – F cos α) L

Trabajo realizado por la fuerza F:

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

WF = F L sen α

Por tanto.

SW = F L sen α – µ (m g cos α – F cos α) L

Cambios de energía.

Estado  inicial:

El bloque sube por la rampa y llega al final con velocidad v.

vin = v0 = 0             hin = 0

Estado final:

vfin = v                   hfin = h

ΔEc =  (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = m g h – 0 = m g h

sen α = h/L → h = L sen α

  ΔEp = m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación, tenemos que:

F L sen α – µ (m g cos α – F cos α) L = (1/2) m v2 + m g L sen α

 (1/2) m v2 = F L sen α – µ (m g cos α – F cos α) L – m g L sen α

(1/2) m v2 = L [F sen α – µ (m g cos α – F cos α) – m g sen α]

(1/2) m v2 = L [(F – m g) sen α – µ (m g cos α – F cos α)]

v2 = {2 L [(F – m g) sen α – µ (m g cos α – F cos α)] }/m

         Como ya se ha dicho anteriormente, podemos saber si la expresión hallada es correcta mediante la ecuación de dimensiones.

         Luego si es correcta.


 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 17 (1ª parte)

 

El plano inclinado de la figura tiene ángulo de 10º y 1 m de longitud. Partiendo del reposo se arrastra hacia arriba el bloque de 2 kg mediante una fuerza vertical de 4 Kp. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2. Determina la velocidad con que llegará el bloque al final del plano.

Realiza el cálculo por Dinámica–Cinemática y Conservación de la energía.

 

 

Solución:

Datos: α = 10º; L = 1 m; v0 = 0; m = 2 kg; F = 4 kp = 39,2 N; μ = 0,2

 Según Cinemática.

Según Dinámica.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de fuerzas 1:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Descomposición de fuerzas 2:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Fuerzas  normales:

N + F cos α – m g cos α = 0 N = m g cos α – F cos α

Fuerzas tangenciales:

F sen α – m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ (m g cos α – F cos α)

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F sen α – m g sen αμ (m g cos α – F cos α) = m a

F sen α – m g sen αμ (m g – F) cos α = m a

(F – m g) sen α + μ (F – m g) cos α = m a

(F – m g)·( sen α + cos α) = m a

a = [(F – m g)·( sen α + cos α)]/m

Sustituyendo en la ecuación obtenida en Cinemática:

Mediante la ecuación de dimensiones podemos saber si la expresión hallada es correcta.


Por tanto:

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 16 (2ª parte)

 

Por Energía.

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a la fuerza F, a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

SW = Wmg + WF + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Pero, según ya hemos visto, Fr = μ N = μ (m g cos α – F sen α) luego:

Wr = –μ Fr = μ N = μ (m g cos α – F sen α) L

Trabajo realizado por la fuerza F:

Los ángulos indicados son iguales por tener lados paralelos.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

WF = F L cos α

Por tanto.

SW = F L cos αμ (m g cos α – F sen α) L

Cambios de energía.

Estado inicial:

El bloque baja por la rampa y llega al final con velocidad v.

vin = v0 = 0             hin = h

Estado final:

vfin = v                   hfin = 0

ΔEc =  (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h


sen α = h/L → h = L sen α

  ΔEp = –m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación, tenemos que:

F L cos αμ (m g cos α – F sen α) L = (1/2) m v2 – m g L sen α

(1/2) m v2 = F L cos αμ (m g cos α – F sen α) L + m g L sen α

(1/2) m v2 = L [F cos αμ (m g cos α – F sen α) + m g sen α]

(1/2) m v2 = L (F cos αμ m g cos α + μ F sen α + m g sen α)

(1/2) m v2 = L [F (cos α + μ sen α) + m g (sen αμ cos α)]

v2 = 2 L [F (cos α + μ sen α) + m g (sen αμ cos α)]/m

Como ya se ha dicho anteriormente, podemos saber si la expresión hallada es correcta mediante la ecuación de dimensiones.

Luego si es correcta.

 

 

  

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