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Teorema de conservación de la energía. Plano vertical 08

 

Una pelota de masa m gira en un plano vertical unida a una cuerda de longitud L. Suponiendo constante su energía mecánica, calcula la diferencia entre las tensiones de la cuerda en el punto más bajo y alto de la trayectoria.

 

 

Solución:

Cálculo de las tensiones.

Fuerzas que actúan sobre la pelota en el punto más bajo:

T – mg = m an → T – mg = m (v2/L)

Fuerzas que actúan sobre la pelota en el punto más alto:

T’ + mg = m an → T’ + mg = m (v’2/L)

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T – mg = m (v2/L)

T’ + mg = m (v’2/L)

T – m g – T’ – m g = m (v2/L) – m (v’2/L)

T – T’ – 2 m g = m (v2/L) – m (v’2/L)

 T – T’ = m (v2/L) – m (v’2/L) + 2 m g

T – T’ = m [(v2/L) – (v’2/L) + 2 g]

T – T’ = m [(v2 – v’2)/L) + 2 g]

Para hallar la diferencia de cuadrados de velocidades utilizaremos el principio de la conservación de la energía:

W = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Como la energía de la pelota es constante, el trabajo sobre ella tiene que ser cero (El trabajo del peso no es nulo pero no se cuenta)

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v

La altura inicial, hin, está indeterminada ya que no se conoce la posición del suelo, pero en realidad no importa dónde esté el suelo porque lo que cuenta es el cambio de altura.

Estado final:

Vfin = v’

Con la altura final, hfin, ocurre lo mismo que con la altura inicial.

ΔEc = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2

ΔEp = m g hfin – m g hin =  m g (hfin – hin)

hfin = 2L + hin

hfin – hin = 2L

 ΔEp = 2 L m g

Haciendo las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación, tenemos que:

0 = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2 + 2 L m g

0 = v’2 – v2 + 4 L g

v2 – v’2 = 4 L g

Sustituyendo en la expresión de la diferencia de tensiones:

T – T’ = m [(4 L g/L) + 2 g]

T – T’ = m (4 g + 2 g) = 6 m g

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano vertical 07

 

Una bala de 10 g sale disparada hacia arriba con una velocidad inicial de 200 m/s. La altura máxima alcanzada es de 2000 m. Hallar:

a)  La energía perdida por el rozamiento.

b)  La velocidad de la bala cuando llega de nuevo al suelo.

 

 

Solución:

Datos: m = 10 g = 0,01 kg; v0 = 200 m/s; h0 = 0; h = 2000 m; v = 0

a)  Energía mecánica inicial (E1):

E1 = Ec1 + Ep1

Energía cinética inicial (Ec1):

Ec1 = (1/2) m v02 = (1/2)·0,01 kg·(200 m/s)2 = 200 J

Energía potencial inicial (Ep1):

Ep1 = m g h0 = 0

E1 = 200 J + 0 = 200 J

Energía mecánica final (E2):

E2 = Ec2 + Ep2

Energía cinética final (Ec2):

Ec2 = (1/2) m v2 = 0

Energía potencial final (Ep2):

Ep2 = m g h = 0,01 kg·(9,8 m/s2)·2000 m = 196 J

E2 = 0 + 196 J = 196 J

Energía perdida por rozamiento (ΔE):

ΔE = E2 – E1 = 196 J – 200 J = –4 J

El signo negativo nos indica que es una energía perdida por el sistema.

b)  Como al subir ha habido una pérdida de energía por el rozamiento con el aire de 4 J, sucederá lo mismo al bajar, por tanto la energía mecánica final (E3) será igual a 196 J – 4 J = 192 J.

Energía mecánica en el suelo:

E3 = Ec3 + Ep3

E3 = (1/2) m v32 + m g h0 = (1/2) m v32 + 0

2 E3/m = v32

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano vertical 06

 

Se deja caer una pelota de 250 g desde una ventana situada a una altura de 15 m. Al mismo tiempo se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba otra pelota de 400 g, con una velocidad de 24 m/s. Calcula, por energías, la distancia a que se encuentra cada pelota de la ventana cuando ambas pelotas alcanzan la velocidad de 10 m/s.

 

 

Solución:

Datos de la primera pelota: v1,0 = 0; m1 = 250 g; h1 = 15 m; v1 = 10 m/s

Principio de conservación de la energía:

Wpeso = Ec + Ep

Durante la bajada la piedra únicamente está sometida a su peso, cuyo trabajo ya está incluido en la variación de la energía potencial, luego: ∑Wpeso = 0.

Cambios de energía:

Energía cinética inicial:

Ec1,0 = (1/2) m v1,02

Energía cinética final:

Ec1 = (1/2) m v12

Variación de la energía cinética:

ΔEc = Ec1 – Ec1,0 = (1/2) m v12 – (1/2) m v1,02

Energía potencial inicial:

Ep0,1 = m g h1,0

Energía potencial final:

Ep1 = m g h1

Variación de la energía potencial:

ΔEp = Ep1 – Ep0,1 = m g h1 – m g h1,0

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación tenemos que:

0 = (1/2) m v12 – (1/2) m v1,02 + m g h1 – m g h1,0

Dividiendo por m:

0 = (1/2) v12 – (1/2) v1,02 + g h1 – g h1,0

g h1 = (1/2) v1,02 – (1/2) v12 + g h1,0

h1 = [(v1,02 – v12)/2 g] + h1,0

h1 = {[0 – (10 m/s)2]/2·(9,8 m/s2)} + 15 m = 9,9 m

Distancia de la primera pelota a la ventana.

d1 = 15 m – 9,9 m = 5,1 m, por debajo de la ventana.

Datos de la segunda pelota: v2,0 = 24 m; m2 = 400 g; h2,0 = 0 m; v2 = 10 m/s

Principio de conservación de la energía:

Wpeso = Ec + Ep

Durante la subida la piedra únicamente está sometida a su peso, cuyo trabajo ya está incluido en la variación de la energía potencial, luego: ∑Wpeso = 0.

Cambios de energía.

Energía cinética inicial:

Ec2,0 = (1/2) m v2,02

Energía cinética final:

Ec2 = (1/2) m v22

Variación de la energía cinética:

ΔEc = Ec2 – Ec2,0 = (1/2) m v22 – (1/2) m v2,02

Energía potencial inicial:

Ep2,0 = m g h2,0

Energía potencial final:

Ep2 = m g h2

Variación de la energía potencial:

ΔEp = Ep2 – Ep2,0 = m g h2 – m g h2,0

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación tenemos que:

0 = (1/2) m v22 – (1/2) m v2,02 + m g h2 – m g h2,0

Dividiendo por m:

0 = (1/2) v22 – (1/2) v2,02 + g h2 – g h2,0

g h2 = (1/2) v2,02 – (1/2) v22 + g h2,0

h2 = [(v2,02 – v22)/2 g] + h2,0

h2 = {[(24 m/s)2 – (10 m/s)2]/2·(9,8 m/s2)} + 0 = 24,3 m

Distancia de la segunda pelota a la ventana.

d2 = 24,3 m – 15 m = 9,3 m, por encima de la ventana.

 

 

 

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