Archivo por autor

Plano horizontal y polea 06

 

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,1

Las masas A, B y C están enlazadas por cuerdas de masa despreciable. Entre las A y B y la mesa hay rozamiento cuyo coeficiente dinámico vale μ = 0,1.

a)  ¿Cuál ha de ser el valor de mC para que el conjunto se mueva con velocidad constante? ¿Cuánto valdrá la tensión de las cuerdas?

b)  ¿Cuánto valdrá la aceleración de las masas y la tensión de las cuerdas si mC = 2 kg?

Datos: mA = 5 kg, mC = 10 kg, g = 10 kg/s2

 

 

Solución:

Datos: μ = 0,1; mA = 5 kg; mC = 10 kg; g = 10 kg/s2

Para resolver este problema no se tendrá en cuenta la rotación de la polea, ya que el enunciado del mismo no dice nada sobre los datos de la misma y, por tanto, se considerará que su masa es despreciable, luego únicamente se estudiará la traslación de los bloques.    

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,2

Como las masas A, B y C no están sujetas a ninguna fuerza útil:

T1 = 0 y T2 = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T3 = mC g

luego al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

Las masas A y B se moverán hacia la derecha y la masa C bajará, ambas con la misma aceleración (módulo).

Nota:

Fuerzas útiles son las que actúan a favor del movimiento, luego las fuerzas internas y las de rozamiento no se consideran útiles.

a)  Como la velocidad ha de ser constante la aceleración es igual a cero.

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,3

Fuerzas normales:

NA – mA g = 0 NA = mA g

Fuerzas tangenciales:

T1 – Fr,A = mA a → T1 – Fr,A = 0

Fuerza de rozamiento:

Fr,A = μ NA = μ mA g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T1 – μ mA g = 0

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,4

Fuerzas normales:

NB – mB g = 0 NB = mB g

Fuerzas tangenciales:

T2 – T1 – Fr,B = mB a → T2 – T1 – Fr,B = 0

Fuerza de rozamiento:

Fr,B = μ NB = μ mB g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T2 – T1 – μ mB g = 0

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 06,5

mc g – T2 = mc a  mc g – T2 = 0

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T1μ mA g = 0 T1 = μ mA g

T2 – T1μ mB g = 0

mC g – T2 = 0  T2 = mC g

Sustituyendo los valores de T1 y T2 en la segunda ecuación, tenemos que:

mC g – μ mA g – μ mB g = 0

mC g = μ mA g + μ mB g

mC = μ mA + μ mB

mC = μ (mA + mB)

mC = 0,1·(5 kg + 10 kg) = 1,5 kg

Tensión de las cuerdas:

T1 = 0,1·5 kg·10 (m/s2) = 5 N

T2 = 1,5 kg·10 (m/s2) = 15 N

b)  Dato: mC = 2 kg

Del apartado anterior tenemos que:

T1 – μ mA g = mA a T1 = μ mA g + mA a

T2 – T1 – μ mB g = mB a

mC g – T2 = mC a  T2 = mC g – mC a

Sustituyendo los valores de T1 y T2 en la segunda ecuación, tenemos que:

mC g – mC a – μ mA g – mA a – μ mB g = mB a

mC g – μ mA g – μ mB g = mB a + mC a + mA a

(mCμ mAμ mB) g = (mB + mC + mA) a

a = [(mCμ mAμ mB) g]/(mB + mC + mA)

a = [(2 kg – 0,1·5 kg – 0,1·10 kg)·10 (m/s2)]/(10 kg + 2 kg + 5 kg)

a = 0,29 m/s2

T1 = (μ g + a) mA = [0,1·(10 m/s2) + (0,29 m/s2)]·5 kg = 6,45 N

T2 = mC (g – a) = 2 kg·[(10 m/s2) – (0,29 m/s2)] = 19,42 N

Si el resultado de la aceleración hubiera sido negativo, significaría que el rozamiento de las masas A y B impiden el movimiento.

 

 

 

Plano horizontal y polea 05

 

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 05

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda, si m1 = 30 kg, m2 = 5 kg y μ = 0,1. Repite los cálculos tomando μ = 0,2.

 

 

Solución:

Datos: m1 = 30 kg, m2 = 5 kg

Para resolver este problema no se tendrá en cuenta la rotación de la polea, ya que el enunciado del mismo no dice nada sobre los datos de la polea y, por tanto, se considerará que su masa es despreciable, luego únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,1

Como el bloque 1 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T1 = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T2 = P2 = m2 g

luego al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Nota:

Fuerzas útiles son las que actúan a favor del movimiento, luego las fuerzas internas y las de rozamiento no se consideran útiles.

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 05, 1

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – P1 = 0 N = m1 g

Fuerzas tangenciales:

T – Fr = m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m1 g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – μ m1 g = m1 a

Bloque 2:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,3

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P2 = m2 a –T + m2 g = m2 a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T = μ m1 g + m1 a

T = m2 g – m2 a

de donde:

μ m1 g + m1 a = m2 g – m2 a

m1 a + m2 a = m2 g – μ m1 g

(m1 + m2) a = (m2 – μ m1) g

a = (m2 – μ m1) g/(m1 + m2)

T = m2 g – m2 [(m2μ m1) g/(m1 + m2)]

T = m2 g {1 – [(m2μ m1)/(m1 + m2)]}

T = m2 g {[(m1 + m2) – (m2μ m1)]/(m1 + m2)}

T = [m2 g (m1 + m2 – m2 + μ m1)]/(m1 + m2)

T = [m2 g (m1 + μ m1)]/(m1 + m2)

T = [m1 m2 g (1+ μ)]/(m1 + m2)

Si μ = 0,1:

a = (5 kg – 0,1·30 kg)·(9,8 m/s2)/(30 kg + 5 kg)

a = 0,56 m/s2

T = [30 kg·5 kg·(9,8 m/s2)·(1 + 0,1)]/(30 kg + 5 kg)

T = 46,2 N

Si μ = 0,2:

a = (5 kg – 0,2·30 kg)·(9,8 m/s2)/(30 kg + 5 kg)

a = – 0,28 m/s2

El signo negativo indica que el sistema se traslada hacia la izquierda, es decir, que el bloque que cuelga de la polea sube, cosa que es imposible porque no hay ninguna fuerza que tire hacia la izquierda, por tanto el sistema está parado.

Lo que ocurre es que P2 no es suficientemente grande para vencer el rozamiento que existe entre P1 y el plano.

En este caso:

T = 5 kg·(9,8 m/s2) = 49 N

Mientras que:

Fr = 0,2·30 kg·(9,8 m/s2) = 58,8 N

 

 

 

Plano horizontal y polea 04

 

Sobre una plataforma horizontal se tiene un cuerpo de 100 kg, que se encuentra unido a otro de 300 kg, estando este último suspendido por medio de una cuerda, inextensible y sin peso, que desliza por la garganta de una polea colocada al borde de la plataforma horizontal. Calcula:

a)  La aceleración del sistema.

b)  La sobrecarga que hay que añadir al cuerpo que desliza sobre el plano para que la aceleración se reduzca a la mitad.

 

 

Solución:

Datos: m1 = 100 kg; m2 = 300 kg

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,1

Como el bloque 1 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T1 = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T2 = P2 = m2 g

luego, al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

a)  Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,2

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – P1 = 0 N = m1 g

Fuerzas tangenciales:

T = m1 a

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,3

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P2 = m2 a T + m2 g = m2 a

De todo lo anterior tenemos que:

–m1 a + m2 g = m2 a

m1 a + m2 a = m2 g

(m1 + m2) a = m2 g

a = m2 g/(m1 + m2)

a = 300 kg·(9,8 m/s2)/(100 + 300 kg) = 7,35 m/s2

b)  Si al primer cuerpo le añadimos una masa m para que la aceleración se reduzca a la mitad, las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior quedan de la siguiente forma:

T = (m1 + m) a/2

T + m2 g = m2 a/2

luego:

–[(m1 + m) a/2] + m2 g = m2 a/2

–[(m1 + m) a] + 2 m2 g = m2 a

–m1 a – m a + 2 m2 g = m2 a

m a = –m1 a + 2 m2 g m2 a

m = (–m1 a + 2 m2 g m2 a)/a

m = [–100 kg·(7,35 m/s2) + 2·300 kg·(9,8 m/s2) – 300 kg·(7,35 m/s2)]/(7,35 m/s2)

m = 400 kg

La sobrecarga que hay que añadir al cuerpo que desliza sobre el plano es 400 kg

 

 

 

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo