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Impulso mecánico y momento lineal o cantidad de movimiento 04

 

La cantidad de movimiento de una partícula es: P1 = (4 i – 3 j) kg m/s. 3 s después la cantidad de movimiento es: P2 = (7 i + 3 j) kg m/s. Determina la fuerza media que actuó sobre ella.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Fm = ΔP/Δt

ΔP = P2P1 = [(7 i + 3 j) – (4 i – 3 j)] kg m/s

ΔP = (3 i + 6 j) kg m/s

ΔFm = [(3 i + 6 j) kg m/s]/3 s = (i + 2 j) N

 

 

Impulso mecánico y momento lineal o cantidad de movimiento 03

 

A un cuerpo de masa m = 2 kg que se desplaza con velocidad v = 11 i m/s se le aplica una fuerza F = (1 – 2t) i N durante 2 s. Calcula el impulso y a partir de él, la velocidad adquirida por el cuerpo.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Datos: = m = 2 kg; v = 11 i m/s; F = (1 – 2t) i N; t = 2 s.

Según Newton:

F = dP/dt

luego:

F dt = dP = I I = (1 – 2t) dt i

 

 

 

Dinámica del movimiento circular 18

 

Una curva de radio R tiene un peralte calculado para que un vehículo pueda tomarla con velocidad v, sin necesidad de rozamiento. Calcula el coeficiente de rozamiento mínimo para que tome la curva sin problemas un coche que circula con velocidad v/2.

 

 

Solución:

Datos: R; v; v/2

Peralte:

Las curvas en las carreteras tienen inclinación transversal: el borde exterior está más alto que el borde interior. Este desnivel se denomina peralte.

La velocidad del vehículo es perpendicular al plano de la pantalla y la curva que describe está en un plano horizontal, por tanto, la aceleración normal tendrá dirección horizontal.

Cálculo del peralte sin rozamiento.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de la fuerza normal:

Las líneas del mismo color son perpendiculares y por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

N sen φ = m an → N sen φ = m v2/R

N cos φ = m g

Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones tenemos que:

N sen φ/N cos φ = (m v2/R)/m g

sen φ/cos φ = v2/R g

tg φ = v2/R g

Cálculo del peralte con rozamiento.

Si un vehículo toma la curva con velocidad menor que v (como en este caso), describirá una curva de radio menor que R, luego tenderá a deslizarse hacia el centro de la curva, deslizamiento al que se opondrá la fuerza de rozamiento.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de la fuerza normal:

Las líneas del mismo color son perpendiculares y por tanto delimitan ángulos iguales.

Descomposición de la fuerza tangencial:

Las líneas del mismo color son paralelas y por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

N sen φ – μ N cos φ = m a’n → N sen φ – μ N cos φ = m (v/2)2/R

N cos φ + μ N sen φ = m g

N (sen φ – μ cos φ) = m v2/4R

N (cos φ + μ sen φ) = m g

Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones tenemos que:

N (sen φ – μ cos φ)/N (cos φ + μ sen φ) = (m v2/4R)/m g

(sen φ – μ cos φ)/(cos φ + μ sen φ) = v2/4R g

[(sen φ – μ cos φ)/cos φ]/[(cos φ + μ sen φ)/cos φ] = v2/4R g

(tg φ – μ)/(1 + μ tg φ) = v2/4R g

4R g (tg φ – μ) = v2 (1 + μ tg φ)

4R g tg φ – 4R g μ = v2 + v2 μ tg φ

4R g tg φ – v2 = 4R g μ + v2 μ tg φ

(4R g + v2 tg φ) μ = 4R g tg φ – v2

μ = (4R g tg φ – v2)/(4R g + v2 tg φ)

Como tg φ = v2/R g, se puede sustituir en la anterior ecuación, obteniéndose que:

μ = [4R g (v2/R g) – v2]/[4R g + v2 (v2/R g)]

μ = (4v2 – v2)/[4R g + (v4/R g)]

μ = (4v2 – v2)/[(4R2 g2 + v4)/R g]

μ = (3v2 R g)/(4R2 g2 + v4)

Dimensionalmente:

 

 

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