Plano inclinado con rozamiento 19

 

Un cuerpo de 15 kg de masa se sitúa en lo alto de un plano inclinado 60º con respecto a la horizontal. La longitud del plano es  de 9 m. Calcula la velocidad con la que llegará el cuerpo al final del plano en los siguientes casos:

a)  Suponiendo que no existe rozamiento.

b)  Con coeficiente de rozamiento igual a 0,1.

 

 

Solución:
Datos: m = 15 kg; v
0 = 0; α = 60º; x = 9 m

Ecuaciones del movimiento:

v = v0 + a t v = 0 + a t

x = v0 t + (1/2) a t2 x = 0 + (1/2) a t2

Como no conocemos el tiempo que el cuerpo tarda en llegar al suelo despejaremos el tiempo, t, en la ecuación de la velocidad y sustituiremos en la expresión de posición.

t = v/a x = (1/2) a (v/a)2

x = v2/2 a v2 = 2 x a

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 19,1

Para poder hallar la velocidad final se necesita conocer la aceleración que lleva el cuerpo.

a)  Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 9

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCL CON ROZAM 05,3

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0  N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α = m a  g sen α = a

a = (9,8 m/s2)·sen 60º = 8,5 m/s2

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 19,2

b)  Dato: μ = 0,1

Fuerzas que intervienen:

Un bloque de masa m, abandonado en un plano inclinado cuyo ángulo es α, siendo μ el coeficiente de rozamiento, únicamente tiene la posibilidad de bajar, luego el sentido de la aceleración es hacia abajo y, por tanto, la fuerza de rozamiento irá hacia arriba.

PLANO INCL CON ROZAM 10, 1

Descomposición de fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCL CON ROZAM 10, 2

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen αμ m g cos α = m a

a = g sen αμ g cos α

a = g (sen αμ cos α)

a = (9,8 m/s2)·(sen 60º – 0,1·cos 60º) = 8 m/s2

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 19,3

 

 

 

Plano inclinado con rozamiento 18

 

Se aplica a un bloque de 10 kg, situado en un plano inclinado 30º, una fuerza paralela al plano hacia arriba. Siendo el coeficiente de rozamiento 0,1, calcula la aceleración que tomará el bloque cuando la fuerza valga:

a)  60 N

b)  30 N

c)  50 N

 

 

Solución:

Datos: m = 10 kg; α = 30º; μ = 0,1

a)  Dato: F = 60 N

Sentido del movimiento:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 18,1

La fuerza F (60 N) es mayor que m g sen α (49 N), por tanto la fuerza útil se dirige hacia arriba y lo mismo le ocurre a la aceleración si la hubiera.

Si la aceleración va hacia arriba, el bloque comenzará a subir, luego el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia abajo.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL CON ROZAM 07, 1

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color, en la descomposición de fuerzas, son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCL CON ROZAM 07, 2

Según la anterior figura:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F – m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F – m g sen αμ m g cos α = m a

a = (F – m g sen αμ m g cos α)/m

a = [F – m g (sen α + μ cos α)]/m

a = [60 N – 10 kg·(9,8 m/s2)·(sen 30º + 0,1 cos 30º)/10 kg = 0,25 m/s2

Efectivamente el bloque subirá con una aceleración de 0,25 m/s2

b)  Dato: F = 30 N

Sentido del movimiento:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 18,1

La fuerza F(30 N) es menor que m g sen α (49 N), por tanto la fuerza útil se dirige hacia abajo y lo mismo le ocurre a la aceleración si la hubiera.

Si la aceleración va hacia abajo, el bloque comenzará a bajar, luego el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia arriba.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 18,3

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color, en la descomposición de fuerzas, son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 18,4

Según la anterior figura:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

–F + m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

–F + m g sen αμ m g cos α = m a

a = (–F + m g sen αμ m g cos α)/m

a = [–F + m g (sen α μ cos α)]/m

a = [–30 N + 10 kg·(9,8 m/s2)·(sen 30º – 0,1 cos 30º)/10 kg = 1,1 m/s2

Efectivamente el bloque bajará con una aceleración de 1,1 m/s2

c)  Dato: F = 50 N

Sentido del movimiento:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 18,1

La fuerza F (50 N) es mayor que m g sen α (49 N), por tanto la fuerza útil se dirige hacia arriba y lo mismo le ocurre a la aceleración si la hubiera.

Si la aceleración va hacia arriba, el bloque comenzará a subir, luego el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia abajo.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL CON ROZAM 07, 1

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color, en la descomposición de fuerzas, son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCL CON ROZAM 07, 2

Según la anterior figura:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F – m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F – m g sen αμ m g cos α = m a

a = (F – m g sen αμ m g cos α)/m

a = [F – m g (sen α + μ cos α)]/m

a = [50 N – 10 kg·(9,8 m/s2)·(sen 30º + 0,1 cos 30º)/10 kg = –0,75 m/s2

El resultado negativo indica que el bloque no se moverá porque le sujeta el rozamiento, por tanto la aceleración será cero.

Comprobemos ésta afirmación:

La resultante de las fuerzas útiles era: 1 N (50 N – 49 N); para sujetar al bloque, el rozamiento tendría que hacer una fuerza de 1 N, ¿puede hacerla?

Fr = μ N = μ m g cos α = 0,1·10 kg·(9,8 m/s2)·cos 30º = 8,49 N

La máxima fuerza de rozamiento es de 8,49 N, luego sí puede contrarrestar el Newton necesario para sujetar al bloque.

 

 

 

 

 

 

Plano inclinado con rozamiento 17

 

Un bloque de masa m está en un plano inclinado de ángulo α. Determina la fuerza mínima, paralela al plano, que habría que aplicarle para sujetarlo, suponiendo el plano:

a)  Liso.

b)  Rugoso. (Coeficiente de rozamiento μ)

 

 

Solución:

Si no hay movimiento, ¿cómo se toman los ejes? Pues da lo mismo, tomemos los ejes que tomemos siempre se compensarán las componentes de todas las fuerzas. Por tanto tomaremos los ejes como siempre: paralelo y perpendicular al plano inclinado.

a)  Fuerzas que intervienen:  

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 17,1

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 17,2

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F – m g sen α = 0 F = m g sen α

Como sen α disminuye al disminuir el ángulo, cuanto menos inclinado esté el plano, menos fuerza será necesaria para sujetar el bloque y si el plano está horizontal no hará falta ninguna fuerza.

b)  La fuerza mínima corresponderá al caso en que la fuerza de rozamiento que sujeta al bloque sea máxima, es decir, Fr = μ N.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 17,3

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 17,4

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F + Fr – m g sen α = 0

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F + μ m g cos α – m g sen α = 0

F = –μ m g cos α + m g sen α

F = m g (sen α μ cos α)

Obviamente hay valores de μ para los cuales la fuerza necesaria para sujetar el cuerpo es negativa, lo cual indica una situación imposible, ¿por qué?

Porque si el coeficiente de rozamiento es suficientemente grande, la fuerza de rozamiento podrá sujetar el bloque por si sola y no habrá que aplicar fuerza alguna para mantener el bloque inmóvil.

 

 

 

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