Oscilador armónico simple 13

 

Un bloque de 2 kg cuelga de un muelle de constante 0,2 kp/cm. Se empuja el bloque 6 cm por encima de la posición de equilibrio y se suelta.

a)  Aplica las ecuaciones de la Dinámica para calcular el período de oscilación del bloque.

b)  Escribe la ecuación del movimiento y úsala para determinar cuándo pasará el bloque por la posición de equilibrio.

 

 

Solución:

Datos: m = 2 kg; k = (0,2 kp/cm)·(9,8 N/kp) = 1,96 N/cm; d1 = 6 cm

a)  Período del movimiento:

T = 2π/ω

Fuerzas que actúan sobre el bloque en la posición de equilibrio:

En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, por tanto:

Fe = m g → k d = m g  d = m g/k

d = 2 kg·(9,8 m/s2)/(1,96 N/cm) = 10 cm

Llevamos el bloque a una distancia d1 por encima de la posición de equilibrio y soltamos:

En la posición de equilibrio el muelle está estirado una distancia d = 10 cm, por tanto si se empuja el bloque una distancia d1 = 6 cm por encima de la posición de equilibrio, el muelle todavía estará estirado una distancia de 4 cm, pero no podrá vencer al peso del bloque, por tanto:

m g – Fe = m a → m g – k (d – d1) = m a

 m g – k d + k d1 = m a

Ahora se puede tener en cuenta que en la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, luego es como si no existiera ni el peso ni la fuerza elástica inicial, por tanto:

m g – k d = 0 → k d1 = m a

a = k d1/m

Pero de Cinemática se tiene que: a = ω2 d1 (d1 es la amplitud de este movimiento), luego:

ω2 d1 = k d1/m ω2 = k/m

b)  Ecuación del movimiento:

y = A sen (ω t + φ0)

Aplicación de la ecuación cuando pasa por el origen (y = 0):

0 = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = 0

ω t + φ0 = 0 + k π, k Z  (No confundir con la constante elástica del muelle)

ω t = k π – φ0 t = (k π/ω) – (φ0/ω)

Ahora bien, se tiene que T = 2π/ω y, además:

Si t = 0 entonces y = A, luego:

A = A sen φ0 sen φ0 = A/A = 1→ φ0 = (π/2) rad

Como t ≥ 0, entonces:

2k – 1 ≥ 0 2k ≥ 1 k ≥ 1/2 k ≥ 1 

k = 1 → t1 = 0,16 s

k = 2 → t2 = 0,48 s

k = 3 → t3 = 0,80 s

k = 4 → t4 = 1,12 s

t = {0,16; 0,48; 0,80; 1,12,…} s

 

 

 

Oscilador armónico simple 12

 

Dos cuerpos de igual masa están colgados de sendos muelle de constantes k1 y k2, siendo k1 < k2. Si ambos cuerpos oscilan con la misma amplitud, ¿cuál tendrá la mayor velocidad máxima?

 

 

Solución:

Datos: m1 = m2; k1 < k2; A1 = A2

Por Cinemática.

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t)                 v = dv/dy = A ω cos (ω t)

Módulo de la velocidad máxima:

vmáx = A ω

Relación de la frecuencia angular y la constante elástica:

Sustituyendo en la expresión de la velocidad máxima:

De la última ecuación se puede ver que a igualdad de masa y amplitud, tendrá mayor velocidad el cuerpo que esté unido al muelle de mayor constante elástica.

En este caso el cuerpo que está unido a k2, es decir, m2.

 

 

 

Oscilador armónico simple 11

 

La escala de un dinamómetro abarca de 0 a 16 kp y tiene una longitud de 15 cm. Se observa que un cuerpo suspendido del dinamómetro oscila con una frecuencia de 1,5 ciclos. ¿Cuál es su masa?

 

 

Solución:

Datos: L = 15 cm → Fe = 16 kp; f = 1,5 ciclos o s–1

Al suspender el cuerpo del muelle, éste sufre un alargamiento d. Después se estira del bloque hasta una distancia y de la posición de equilibrio y se suelta.

La fuerza elástica es mayor que el peso (el muelle está más estirado que en la posición de equilibrio). La fuerza útil va hacia arriba y por tanto la aceleración tiene el mismo sentido, luego:

Fe – m g = m a → k (d + y) – m g = m a

Para poder hallar la distancia d, consideremos el bloque en la posición de equilibrio y veamos las fuerzas que intervienen:

En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, luego:

Fe = m g →  k d = m g → d = m g/k

k [(m g/k) + y] – m g = m a

m g + k y – m g = m a

a = k y/m

El sentido de la aceleración es contrario a la elongación (separación de la posición de equilibrio) y su módulo es proporcional a ésta. Estas dos características son típicas del movimiento armónico

En Cinemática el módulo de la aceleración de un movimiento armónico vale:

a = ω2 y (se ha suprimido el signo negativo porque se trata de un módulo).

Evidentemente el módulo de la aceleración calculada en Dinámica, ha de ser igual al módulo de la aceleración calculada en Cinemática, luego:

(k/m) y = ω2 y → k/m = ω2 → m = k/ω2 

Fase angular:

ω = 2π/T = 2π f

Sustituyendo en la expresión de la masa, tenemos que:

m = k/(2π f)2 = k/4π2 f2

Ahora falta saber cuánto vale la constante del muelle del dinamómetro, para lo cual se ha de tener en cuenta que éste se alarga 15 cm cuando soporta una fuerza de 16 kp, por tanto su constante elástica vale:

Fe = k L → k = Fe/L

k = 16 kp·(9,8 n/kp)/0,15 m = 1045 N/m

Masa del cuerpo:

m = (1045 N/m)/4π2·(1,5 s–1)2 = 11,8 kg

 

 

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