El Sapo Sabio

 

Suponiendo que la Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol calcula su velocidad areolar, velocidad lineal y momento angular (Módulo)

 

Datos de la Tierra: m = 5,98·10²⁴ kg; r (órbita) = 1,49·10⁸ km; T = 1 año. 

 

Solución:

 

Datos de la Tierra: M = 5,98·10²⁴ kg; r (órbita) = 1,49·10⁸ km; T = 1 año. 

 

a)      Velocidad areolar:

 

 

 

La velocidad areolar es igual al área que barre por unidad de tiempo, el vector de posición del planeta. En un año barre toda el área que encierra la órbita, por tanto:

 

 

La Tierra tarda un año en recorrer su orbita alrededor del Sol y suponiendo circular dicha órbita, tenemos: 

 

 

b)      Velocidad lineal es la longitud de órbita que recorrida por unidad de tiempo. En un año se recorrerá toda la orbita, luego:

 

 

c)      Módulo del momento angular:

 

 

 

Es interesante hacer notar que el momento angular, es el producto de la velocidad areolar por el doble de la masa, cosa que Newton observó y así descubrió la ley de la gravitación.

 

 

Si el radio medio de la órbita de la Tierra 1,49·10¹¹ m y su período es 3,16·10⁷ s, halla el tamaño del sistema solar, sabiendo que el período de Plutón es 7,82·10⁹ s.

 

Solución:

 

Datos: R_T  = 1,49·10¹¹ m; T_T = 3,16·10⁷ s; T_P = 7,82·10⁹ s.

 

Como Plutón es el último planeta del sistema solar, su radio medio orbital coincide con el radio del sistema solar. Por tanto el tamaño del sistema solar, es el área de un círculo de radio igual al radio orbital del planeta Plutón.

 

Para hallar el radio medio orbital de Plutón, podemos utilizar la tercera ley de Kepler, ya que conocemos el período y el radio orbital de otro planeta, en este caso el de la Tierra.

 

 

Tamaño del sistema solar:

 

 

 

 Justifica la tercera ley de Kepler, sabiendo que el radio medio de la órbita de Júpiter es de 7,78·10⁸ km y su período orbital es de 3,74·10⁸ s y que el radio medio de la órbita de la Tierra es de 1,49·10¹¹ m y su período orbital es de 365,25 días.

 

Solución:

 

Tercera ley de Kepler:

 

R³/T² = constante para todos los planetas.

 

Si, por ejemplo, lo aplicáramos a la Tierra y a Venus:

 

 

 

 y así con cualquier par de planetas del sistema solar.

 

Veamos si se cumple para la Tierra y para Júpiter.

 

 

 

Luego sí se cumple.