Planos inclinado y horizontal 04

 

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 04, 1

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda. Se suponen lisas las superficies.

Datos: m1 = 1 kg, m2 = 10 kg, α = 30º

 

 

Solución:

Datos: m1 = 1 kg; m2 = 10 kg; α = 30º

En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.  

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 04, 2

T1 = P1 = m1 g sen α

Como el bloque 2 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T2 = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza T1, luego al dejar el sistema en libertad esta girará en sentido contrario al de las agujas del reloj.

El bloque 1 bajará y el bloque 2 se moverá hacia la izquierda, ambos con la misma aceleración (módulo).

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1 y descomposición de las mismas:

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 04, 3

Fuerzas normales:

N1 – P1 cos α = 0

Al no haber rozamiento las fuerzas normales no se tienen en cuenta para la resolución del problema.

Fuerzas tangenciales:

P1 sen α – T = m1 a → m1 g sen α – T = m1 a

T = m1 g sen α – m1 a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2:

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 04, 4

Fuerzas normales:

N2 – P2 = 0

Como ya se ha dicho, al no haber rozamiento las fuerzas normales no se tienen en cuenta para la resolución del problema.

Fuerzas tangenciales:

T = m2 a

Como las tensiones son iguales:

m1 g sen α – m1 a = m2 a

m1 g sen α = m1 a + m2 a

(m1 + m2) a = m1 g sen α

a = m1 g sen α/(m1 + m2)

a = 1 kg·(9,8 m/s2)·sen 30º/(1 + 10) kg

a = 0,45 m/s2

Tensión de la cuerda:

T = 10 kg·(0,45 m/s2) = 4,5 N

 

 

Plano inclinado y polea 09

 

PLANO INCLINADO Y POLEA 09, 1

En el diagrama de la figura determinar:

a)  Sentido del movimiento.

b)  Aceleración.

c)  Tensión de las cuerdas.

Datos: m1 = 4 kg, m2 = 3 kg, m3 = 5 kg, μ = 0,2

 

 

Solución:

Datos: m1 = 4 kg; m2 = 3 kg; m3 = 5 kg; μ = 0,2

En los datos del problema no se dice nada sobre las poleas, por tanto se debe entender que sus masas son despreciables, luego no se tendrá en cuenta la rotación de las mismas y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

a)  Sentido del movimiento:

PLANO INCLINADO Y POLEA 09, 2

Si no hubiera rozamiento las fuerzas que intervienen en el sistema son:

P1 = m1 g = 4 kg·(9,8 m/s2) = 39,2 N

P2 = m2 g sen α = 3 kg· (9,8 m/s2)·sen 30º = 14,7 N

P3 = m3 g = 5 kg·(9,8 m/s2) = 49 N

ya que la tensiones se anulan entre si.

Como se puede comprobar, P1 + P2 > P3, luego el sistema no puede moverse hacia la derecha, por tanto debe moverse hacia la izquierda, pero no hemos tenido en cuenta la fuerza de rozamiento, por lo que tendremos que averiguar su valor.

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N

Fuerzas normales:

PLANO INCLINADO Y POLEA 09, 3

N = m2 g cos α

Fr = μ m2 g cos α = 0,2·3 kg·(9,8 m/s2)·cos 30º = 5,1 N

El sistema no se mueve hacia la izquierda ya que P1 + P2 – P3 < Fr, por tanto se encuentra en reposo.

b)  Como el sistema está parado la aceleración es igual a cero.

c)  Tensiones de las cuerdas:

Según hemos visto en los anteriores apartados:

En el bloque 1:

T1 = P1 = 39,2 N

En el bloque 3:

T3 = P3 = 49 N

 

 

 

Plano inclinado y polea 08

 

PLANO INCLINADO Y POLEA 08,1

a)  Determina el ángulo α, para que el sistema de la figura permanezca en reposo (sin rozamiento)

b)  En caso de que m2 resbalara, ¿a qué velocidad llegaría abajo?

 

 

Solución:

a)  Fuerzas que intervienen en el bloque 1:

PLANO INCLINADO Y POLEA 08,2

Según la figura:

T1 – m1 g = 0 T1 = m1 g

Fuerzas que intervienen en el bloque 2:

PLANO INCLINADO Y POLEA 08,3

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCLINADO Y POLEA 08,4

Las líneas del mismo color son paralelas entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO Y POLEA 08,5

Como no hay rozamiento las fuerzas normales, N y m g sen α, no se han tenido en cuenta.

Según la figura:

T2 – m2 g cos α = 0 → T2 = m2 g cos α

Para que el sistema esté en reposo T1 = T2, luego: 

m1 g = m2 g cos α → m1 = m2 cos α → cos α = m1/m2

α = arc cos (m1/m2)

b)  En este caso debemos saber con qué aceleración baja el cuerpo del plano inclinado, teniendo en cuenta que su velocidad inicial es cero.

Si el bloque 2 baja el bloque 1 sube, luego:

T – m1 g = m1 a T = m1 g + m1 a

m2 g cos α – T = m2 a T = m2 g cos α – m2 a

m1 g + m1 a = m2 g cos α – m2 a

m1 a + m2 a = m2 g cos α – m1 g

(m1 + m2) a = (m2 cos α – m1) g

a = (m2 cos α – m1) g/(m1 + m2)

PLANO INCLINADO Y POLEA 08,6

De Cinemática:

v = v0 + a t → v = a t

x = v0 t + (1/2) a t2 x = (1/2) a t2

t2 = 2 x/a

PLANO INCLINADO Y POLEA 08,7

O, también:

cos α = h/x x = h/cos α

PLANO INCLINADO Y POLEA 08,8

 

 

 

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