Momento de una fuerza (torque) 06

 

Un disco homogéneo, m = 5 kg, R = 1 m, puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su c. d. m. Tangencialmente al disco se aplica una fuerza de 4 N, calcula el torque del disco y la aceleración angular que tomará éste.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución: 

Datos: m = 5 kg; R = 1 m; F = 4 N

Momento del torque:

M = MP + MF + MN

Momento de P:

MP = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

Momento de F:

MF = RxF → MF = R F sen 90º = R F

Momento de N:

MN = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

Obsérvese que la normal está inclinada para compensar a la fuerza horizontal (F) y a la fuerza vertical (P).

M = 1 m·4 N = 4 Nm

Éste momento hará que el disco comience a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Aceleración angular:

M = I α → α = M/I = R F/I

Momento de inercia de un disco cuya masa está distribuida uniformemente respecto a un eje perpendicular a su centro:

I = (1/2) m R2

Sustituyendo en la anterior ecuación:

α = R F/[(1/2) m R2] = 2 F/m R

α = 2·4 kg·(m/s2)/5 kg·1 m = 1,6 rad/s2

 

 

Momento de una fuerza (torque) 05

 

Una varilla homogénea de masa m y longitud L tiene un eje, perpendicular por un extremo, que le permite girar en un plano vertical. Calcula el torque de la varilla y su aceleración angular cuando ésta forma un ángulo φ bajo la horizontal.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Momento del torque:

M = MP + MN

Momento de P:

MP = dxP MP = d P sen 90º = d m g

cos φ = d/(L/2) → d = (L/2) cos φ

MP = (L/2) m g cos φ

Momento de N:

MN = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

M = (L/2) m g cos φ

Este momento hará que la varilla comience a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Aceleración angular:

M = I α → a = M/I = (L/2) m g cos φ/I

Momento de inercia de una varilla delgada respecto a un eje perpendicular a su extremo:

I = (1/3) m L2

Sustituyendo en la anterior ecuación:

a = (L/2) m g cos φ/(1/3) m L2 =3 g cos φ/2 L

 

 

Momento de una fuerza (torque) 04

 

Suponiendo despreciable la masa de las varillas, calcula el torque del sistema y su aceración angular.

Datos: m1 = 1 kg; m2 = 2 kg; L1 = 2 m; L2 = 2 m; φ = 120º

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución: 

Datos: m1 = 1 kg; m2 = 2 kg; L1 = 2 m; L2 = 2 m; φ = 120º

Momento del torque del sistema:

M = MP,1 + MP,2 + MN

Momento de P1:

MP,1 = L1xP1 → MP,1 = L1 P1 sen 90º = L1 m1

MP,1 = 2 m·1 kg·(9,8 m/s2) = 19,6 N m

Momento de P2:

MP,2 = d2xP2 → MP,2 = d2 P2 sen 90º = d2 m2 g

cos β = cos (180º – φ) = d2/L2

d2 = L2 cos (180º – φ) = cos (180º – 120º) = L2 cos 60º 

MP,2 = m2 g L2 cos 60º

MP,2 = 2 kg·(9,8 m/s2)·2 m·cos 60º =19,6 N m

Momento de N:

MN = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

Como hay dos momentos de igual módulo y sentidos opuestos, el momento total es cero.

Al no haber torque no habrá aceleración angular, es decir, α = 0. El sistema no girará.

 

 

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