Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 06

 

Partiendo del reposo se hace bajar un bloque de 2 kp por una rampa de 5 m de longitud e inclinada 20º, tirando con una fuerza paralela a ésta. Sabiendo que el bloque llega al final de la rampa con una velocidad de 4 m/s y que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y superficie es 0,2, determina el valor de la fuerza (Aplicando el principio de conservación)

 

 

Solución:

Datos: v0 = 0; P = 2 kp m = 2 kg; L = 5 m; α = 20º; v = 4 m/s; μ = 0,2 

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr) a la normal de la superficie (N) y a la fuerza F.


SW = Wmg + Wr + WN + WF

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

luego:

Wr = –µ m g L cos α

Trabajo realizado por la fuerza F:

WF = F L cos 0 = F L

Por lo tanto:

SW = –µ m g L cos α + F L

Cambios de energía.

Estado inicial:

v0 = 0          h0 = h

Estado final:

v1 = v          h1 = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

sen α = h/L → h = L sen α

ΔEp = –m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g L cos α + F L = (1/2) m v2 – m g L sen α

F L = (1/2) m v2 – m g L sen α + µ m g L cos α

F L = (1/2) m v2 – m g L (sen α – µ cos α)

F = [(1/2) v2 – g L (sen α – µ cos α)] m/L

F = [(1/2)·(4 m/s)2 – (9,8 m/s2)·5 m (sen 20º – 0,2·cos 20º)]·2 kg/5 m = 0,18 N

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 05

 

Un cuerpo de 5 kg de masa se encuentra situado sobre un plano inclinado 30º, a una altura de 3 m. Debido a la acción de su peso, comienza a deslizar, llegando al final de la rampa con una velocidad de 6,9 m/s. Aplicando el principio de conservación de la energía:

a)  ¿Qué trabajo que realiza la fuerza de rozamiento?

b)  ¿Cuánto vale dicha fuerza?

 

 

Solución:

Datos: m = 5 kg; α = 30º; h = 3 m; v0 = 0; v = 6,9 m/s

a)  El bloque baja por la rampa y llega al final con velocidad v1

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr) y a la normal de la superficie (N).

SW = Wmg + Wr + WN

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Por lo tanto:

SW = Wr

Cambios de energía.

Estado inicial:

v0 = 0          h0 = h

Estado final:

v1 = v          h1 = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

Wr = (1/2) m v2 – m g h = [(1/2) v2 – g h] m

Wr = [(1/2)·(6,9 m/s)2 – (9,8 m/s2)·3 m]·5 kg = –28 J

El signo negativo es debido a que el trabajo está efectuado por una fuerza que se opone al desplazamiento.

b)  Trabajo realizado por el rozamiento:  

Wr = Fr L

sen α = h/L → L = h/sen α

Wr = Fr h/sen α

Fr = Wr sen α/h

Fr = –28 J·sen 30º/3 m = –4,7 N 

El signo negativo nos indica que la fuerza de rozamiento se opone al movimiento.

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 04

 

Calcula la fuerza que habrá que ejercer para elevar un objeto de 20 kg de masa hasta una altura de 9 m, con la ayuda de un plano inclinado de 14 m de longitud.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 0; h0 = 0; m = 20 kg; h1 = 10 m; L = 14 m

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante la subida el bloque está sometido a su peso (m g), a la normal de la superficie (N) y a la fuerza que se ejerce sobre él (F).

ΣW = Wmg + WN + WF

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la fuerza F:

WF = F L cos 0 = F L

Por lo tanto:

ΣW = F L

Cambios de energía.

El bloque sube por la rampa y llega al final con velocidad cero.

Esta inicial:

v0 = 0          h0 = 0

Estado final:

v1 = 0          h1 = h

ΔEc = 0 – 0 = 0

ΔEp = m g h – 0 = m g h

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación:

F L = 0 + m g h = m g h

 F = m g h/L

F = 20 kg·(9,8 m/s2)·10 m/14 m = 140 N

 

 

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