Rodadura del sólido rígido. Poleas 08

 

Determina la aceleración angular de la polea cuando se deje en libertad el sistema.

Los radios de la doble polea son: r, 3·r/2 y su masa, m, está concentrada en la periferia.

 

 

Solución:

Predicción del sentido del movimiento:

Momento de F:

MF =  (3·r/2)·m g = (3/2)·r m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Momento de T:

MT = r·2 m g = 2 r m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

Pero como MT es mayor que MF, la polea empezará a girar en sentido antihorario.

Momentos de las fuerzas (torque):

T·r – (3/2) r m g = I α

Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:

I = m·[(3/2)·r]2 = (9/4) m r2

Por lo tanto:

T·r – (3/2) r m g = (9/4) m r2 α

T – (3/2) m g = (9/4) m r α

Fuerzas que actúan sobre el bloque:

2 m g – T = m a → T = 2 m g – 2 m a

Relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular:

a = α r

Luego:

T = 2 m g – 2 m α r

2 m g – 2 m α r – (3/2)·m g = (9/4) m r α

2 g – 2 α r – (3/2) g = (9/4) r α

(9/4) r α + 2 α r = (1/2) g

(17/4) r α = (1/2) g

α  = 4 g/34 r = 2 g/17 r

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 07

 

El sistema de la figura comienza a moverse partiendo del reposo. Calcula el tiempo que tardará la polea en dar una vuelta.

Las masa de los bloques son: m1 = m, m2 = 4m, la masa de la polea es; 15m/4 y se puede suponer concentrada en la periferia. La fuerza F es igual al peso del bloque 1. El radio de la polea vale R = 50 cm.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 0; φ = 1 rev; m1 = m; m2 = 4m; M = 15m/4; F = m g; R = 50 cm

Según Cinemática:

φ = ω0 + (1/2) α t2

φ = 0 + (1/2) α t2 t2 = 2φ/α

Como conocemos el valor de φ (2π rad), para hallar el valor de t necesitamos averiguar el valor de α.

Predicción del sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g = m g               T2 = m2 g = 4 m g

Momento del torque sobre la polea

M = MF + MT,1 + MT,2 + MN + MMg

Momento de F:

MF = (2 R)·m g·sen 90º = 2 R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.

Momentos de T1 y de T2:

MT,1 = R·m1·sen 90º = R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

MT,2 = R·m2·sen 90º = R·(4 m)·g = 4 R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = 2 R m g + R m g – 4 R m g + 0 + 0 = –R m g

Este momento hará que la polea empiece a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento:

Rotación de la polea:

M = MF + MT,1 + MT,2 + MN + MMg

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0                   MMg = 0

Momento de F:

MF = 2 R F (Sentido opuesto al de la aceleración)

Momento de T1:

MT,1 = R T1·sen 90º = R T1 (Sentido opuesto al de la aceleración)

Momento de T2:

MT,2 = R T2·sen 90º = R T2 (Mismo sentido que el de la aceleración)

M = –2 R F – R T1 + R T2 + 0 + 0

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

–2 R F – R1 T1 + R T2 = I α

Traslación de los bloques:


Los bloques están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones son iguales.

T1 – m g = m a

–T2 + 4 m g = 4 m a

Ahora se debe poner la aceleración en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las aceleraciones angular y lineales.    

a = α R

Por tanto tenemos el siguiente sistema:

–2 R F – R T1 + R T2 = I α

T1 – m g = m a

–T2 + 4 m g = 4 m a

a = α R

Ahora sustituiremos el valor de a en las expresiones de las tensiones y después despejaremos las tensiones.

T1 – m g = m α R T1 = m g  + m α R

–T2 + 4 m g = 4 m α R T2 = 4 m g – 4 m α R

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones del sistema:

–2 R m g – R (m g + m α R) + R (4 m g – 4 m α R) = I α

–2 R m g – R m g – m α R2 + 4 R m g – 4 m α R2 = I α

R m g – 5 m α R2 = I α

I α + 5 m α R2 = R m g

(I + 5 m R2) α = R m g

α = R m g/(I + 5 m R2)

Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:

I = (15m/4)·(2R)2 = 15 m R2 

Luego:

α = R m g/(15 m R2 + 5 m R2)

α = R m g/20 m R2

α = g/20 R

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 06

 

Un bloque, m = 10 kg, cuelga de una cuerda arrollada a una polea de radio R1 = 5 cm  que está pegada a otra polea de radio R2 = 20 cm compartiendo ambas el mismo eje. En la polea de mayor radio se aplica tangencialmente una fuerza de F = 3 kp para hacer subir el bloque. Siendo el momento de inercia de la doble polea 750 kg·cm2, calcula la aceleración angular de la polea.

 

 

Solución:

Datos: m = 10 kg; R1 = 5 cm; R2 = 20 cm; F = 3 kp; I = 750 kg·cm2

Para que el bloque suba la polea deberá girar en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento.

Observa que la normal está inclinada para compensar la fuerza hacia la derecha (F) y la fuerza hacia abajo (mg)

Momento de las fuerzas (torque):

M = MN + MF + MMg + MT

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir: MN = 0 y MMg = 0.

MF = R2 F sen 90º = R2 F (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT = R1 T sen 90º = R1 T (Sentido de las agujas del reloj) 

La aceleración angular tiene el sentido contrario al de las agujas del reloj, por tanto:

MF > MT

M = R2 F – R1 T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R2 F – R1 T = I α

Traslación del bloque:

T – m g = m a T = m g + m a = m (g + a)

I α = R2 F – R1 m (g + a)

Relación entre traslación y rotación:

a = α R1

(Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda)

I α = R2 F – R1 m (g + α R1) = R2 F – R1 m g – m α R12 

I α + m α R12 = R2 F – R1 m g

(I + m R12) α = R2 F – R1 m g

α = (R2 F – R1 m g)/(I + m R12)

 

 

 

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